Теплопроводность

Теплопроводностью называется один из способов переноса теплоты от более нагретых частей системы к менее нагретым. Теплопроводность возникает, когда по каким-либо внешним причинам в газе возникает градиент температуры, т.е. когда в разных точках пространства средние кинетические энергии молекул газа оказываются различными. Перенос энергии при теплопроводности осуществляется в результате непосредственной передачи энергии при столкновениях от частиц, обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией. Если относительное изменение температуры на расстоянии длины свободного пробега частиц мало, то выполняется основной закон теплопроводности – закон Фурье.

3.1. Уравнение Фурье.

Рассмотрим газовую среду, в которой значение температуры зависит от координаты , так что . Т.о., газ находится в неравновесном состоянии, и стремление системы к равновесному состоянию проявится в появлении потока тепла, направленного от участков, обладающих высокой температурой, к участкам с более низкой температурой.

Итак, переносимым молекулами качеством в рассматриваемом случае является тепло (кинетическая энергия), следовательно, в уравнении стационарных процессов переноса приобретает смысл плотности потока тепла в направлении оси . В этом случае средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она изменяется вместе с изменением температуры среды.

Исходя из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы (здесь и далее температуру измеряем в градусах Кельвина ), можем записать

. (3.1)

Тогда

(3.2)

. (3.3)

Введенный в последнем выражении коэффициент называется коэффициентом теплопроводности:

(3.4)

где плотность газа ( масса молекулы), - удельная теплоемкость.

Итак, уравнение Фурье (стационарное уравнение теплопроводности) имеет вид:

(3.5)

Коэффициент теплопроводности.

1. Коэффициент теплопроводности не зависит от давления. Появление зависимости говорит о появлении вакуума (длина свободного пробега молекул становится сравнимой с размерами сосуда). Из рисунка видно, когда можно ввести понятие вакуума.

2. Коэффициент теплопроводности зависит от температуры как , т.к.

, (3.6)

т.е. зависимость от температуры определяется присутствием в выражении (3.6) средней скорости молекул, поскольку эффективное сечение слабо зависит от температуры.

3. Размерность .

4. Полное количество тепла, переносимое через поверхность , определяется интегралом по поверхности:

. (3.7)

3.2. Нестационарное уравнение теплопроводности.

В результате переноса тепла температуры тел (если они какими-либо средствами не поддерживаются постоянными) со временем выравниваются, что приводит к изменению со временем градиента температуры, вследствие чего и поток тепла будет зависеть от времени: .

Найдем уравнение теплопроводности, зависящее от времени, т.е. учтем изменение температуры при переносе тепла.

Рассмотрим поток тепла через поперечное сечение цилиндра . Количество тепла, приходящее за время к поверхности с координатой , равно

Тепло, уходящее через поверхность , имеющую координату

Тогда изменение количества тепла на промежутке

можно определить как

. (3.8)

С другой стороны, изменение количества тепла в объеме равно

, (3.9)

где - удельная теплоемкость, - плотность газа.

Сравнивая (3.8) и (3.9), находим

(3.10)

и приходим к уравнению:

. (3.11)

Здесь плотность потока тепла через выбранную поверхность, т.е. величина, определяемая уравнением Фурье (3.5).

Подставляя выражение для из (3.5) в (3.11), получаем уравнение теплопроводности (нестационарное):

. (3.12)

Частный случай: среда однородна и коэффициент теплопроводности не зависит от температуры (такое может быть, если процесс протекает не в газе):

(3.13)

Для решения нестационарного уравнения теплопроводности (3.12) необходимо знать начальные и граничные условия.

Если известно, что существуют источники тепла (ток, распад), то их присутствие можно учесть, если ввести мощность источников – количество тепла, выделяемое в 1 объема в 1 времени.

Тогда искомое уравнение примет вид:

(3.14)

3.3. Распределение температуры между двумя концентрическими сферами.

В качестве примера рассмотрим стационарное распределение температуры между двумя концентрическими сферами, при температуры которых поддерживаются равными и . т.е. .