Полное уравнение кривой второго порядка

Теперь рассмотрим уравнение кривой второго порядка, в котором коэффициент .

В этом случае необходимо применить преобразование поворота осей координат по формулам:

(13)

При этом угол подбирается таким образом, чтобы уравнение стало пятичленным, т.е. не содержащим произведения . Дальнейшие преобразования аналогичны приведенным выше преобразованиям для пятичленного уравнения.

3. Примеры выполнения заданий типового расчета

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса и гиперболы с полуосями и , выписать координаты фокусов.

Решение.

Составим сначала уравнение эллипса по формуле (2):

или .

Так как , то фокусы имеют координаты и , где . Т.е. координаты фокусов и .

Составим уравнение гиперболы, для которой действительная полуось , а мнимая – . Воспользуемся формулой (5). Получим

или .

Для гиперболы . Поэтому фокусы имеют координаты и .

В случае, когда полуось является мнимой, а полуось – действительной, получим по формуле (6)

или .

Фокусы данной параболы имеют координаты и .

Задача 2. Составить канонические уравнения парабол с параметром , выписать координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение.

В случае, когда парабола симметрична относительно оси , ее уравнение, согласно формуле (9), имеет вид или . При этом фокус лежит на оси на расстоянии от начала координат, т.е. координаты фокуса , уравнение директрисы имеет вид .

Если же осью симметрии параболы является ось , то уравнение примет вид или . Соответственно, фокус находится на оси , имеет координаты , а уравнение директрисы: .

Задача 3. Построить кривые 2-го порядка, заданные уравнениями:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Данное уравнение задает эллипс с полуосями

. Для построения отложим от начала координат в обе стороны расстояние

на оси

. Используя полученные точки, построим прямоугольник со сторонами

, а в прямоугольник впишем эллипс (рис. 7).

Рис. 7

б) Уравнение преобразуем к виду или . Значит, это гипербола, симметричная относительно оси , с действительной ось и мнимой осью . Для построения отложим от начала координат в обе стороны по оси и по оси (рис. 8). Аналогично случаю а) построим прямоугольник, затем проведем в нем диагонали и продлим их за прямоугольник.

Данные диагонали являются асимптотами гиперболы. Ветви гиперболы будут располагаться выше и ниже построенного прямоугольника, их вершинами являются точки

. По мере удаления от начала координат ветви гиперболы будут неограниченно приближаться к асимптотам, но никогда их не пересекут.

Рис.8

в) Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси

и направленную влево. Вершиной параболы является начало координат. Для построения найдем пару дополнительных точек. Ими являются, например,

. Можно найти еще несколько точек, вычислив их координаты хотя бы приблизительно.

Рис 9

Задача 3. Привести к каноническому виду уравнение . Найти координаты фокусов. Построить кривую.

Решение.

Сгруппируем слагаемые и дополним до полного квадрата. Получим:

, , , , .

Перенесем начало координат в точку (рис. 10) и применим преобразование координат , , получим уравнение эллипса:

Полуоси данного эллипса

. Так как

, то

. Координаты фокусов в новой системе координат

. Из преобразования координат имеем:

, поэтому фокусы в исходной системе координат выглядят так:

-1

-2

Рис. 10

Задача 4. Привести уравнение к каноническому виду, сделать чертеж, если это возможно.

Решение.

Сгруппируем слагаемые, сразу дополняя до полного квадрата:

. Т.е. данная кривая распадается на пару пересекающихся прямых, задаваемых уравнениями

(рис. 11).

-4 -3 -2 0

Рис. 11

Задача 5. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние до точки в 2 раза больше расстояния до прямой .

Решение.

Пусть – произвольная точка искомой кривой. Тогда расстояние . Так как прямая перпендикулярна оси , то расстояние до нее от точки равно . Тогда по условию получаем:

Возведем обе части полученного равенства в квадрат и проведем необходимые преобразования:

Применив преобразование координат , , получим каноническое уравнение гиперболы . Т.е искомая кривая – это гипербола с центром симметрии .

Задача 6. Привести уравнение к каноническому виду. Определить тип кривой.

Решение.

Применим преобразования (13), получим:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Приравняем к нулю коэффициент при и, решив тригонометрическое уравнение, найдем .

или ,

откуда или . Очевидно, что эти значения тангенса соответствуют двум перпендикулярным направлениям, поэтому достаточно взять одно из них, т.к. при втором мы просто поменяем местами и . Возьмем . Тогда , . Пусть , . Т.е. совершаем поворот координатных осей на угол . Подставим в уравнение и получим:

Теперь выделяем полные квадраты, аналогично случаю пятичленного уравнения.

, .

Возьмем за новое начало координат точку и, применив преобразование координат , , получим уравнение эллипса:

Полуоси данного эллипса: и .

4. Варианты типового расчета «Кривые второго порядка»

Задание 1.

а) Составить каноническое уравнение эллипса (в нечетных вариантах) или гиперболы (в четных вариантах) с полуосями и (в вариантах 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26 и 30 действительная полуось , мнимая – , в вариантах 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 – наоборот) по данным табл. 1., выписать координаты фокусов.

б) Составить каноническое уравнение параболы с заданными параметром и осью симметрии по данным табл. 1, выписать координаты фокуса и уравнение директрисы.

Таблица 1

Вариант	Данные	Вариант	Данные
			Ось симметрии		Ось симметрии
			5,5	Ox		–0,75	Ox
			3,5	Oy		6,5	Ox
			–5	Oy			Oy
			–4,5	Ox		–4,75	Oy
				Ox		–8,5	Ox
			2,5	Oy			Ox
			–3	Oy		0,25	Oy
			–0,5	Ox		–1,25	Oy
				Ox		–9	Ox
			1,5	Oy		9,5	Ox
			–1	Oy		2,75	Oy
			–3,25	Ox		–1,75	Oy
				Ox		–4,75	Ox
			3,75	Oy		7,5	Ox
			–7	Oy		4,25	Oy

Задание 2. Выбрав соответствующий масштаб, построить кривые 2-го порядка, заданные уравнениями, приведенными в табл. 2.

Таблица 2

Вариант	Уравнения кривых
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;

Таблица 2 (окончание)

	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;
	;	;

Задание 3. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду (табл. 3), построить кривые, найти координаты фокусов.

Таблица 3

Вариант	Уравнение кривой
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;
	;

Таблица 3 (окончание)

	;
	;
	;
	;

Задание 4. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду (табл. 4), сделать чертеж, если это возможно.

Таблица 4

Вари-ант	Уравнение кривой	Вари-ант	Уравнение кривой

Задание 5. Найти уравнение кривой на плоскости, используя заданные геометрические свойства кривой (табл. 5), привести полученное уравнение к каноническому виду, указать тип кривой. Для каждой точки кривой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно .