Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция

Док-во. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, следовательно, ее производная f(x) = F’(x) – неотрицательная функция.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -¥ до +¥ равен 1.

.

Док-во. .

Частный случай. Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то

.

Геометрическая интерпретация свойств плотности распределения.

1. Вся кривая распределения f(x) лежит не ниже оси абсцисс.

2. Полная площадь, ограниченная кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна 1.

Механическая интерпретация.

.

вероятность попадания Х на участок , интерпретируется как масса, приходящая на участок .

средняя плотность на участке .

плотность массы в точке .

Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.

а) найти плотность распределения f(x);

б) графики F(x) и f(x);

в) найти вероятность попадания Х в (0,25; 0,5); (0,5; 0,2).

Решение.

а)

б)

в) (1-й способ)

(2-й способ).