Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полным дифференциалом dz функции z = f (x, y) двух независимых переменных называется главная линейная часть полного приращения этой функции:

.

Наглядное представление полного дифференциала функции дает следующий пример.

Пример Найти дифференциал функции z = xy (x >0, y >0).

Решение: Применяя формулу для полного дифференциала, получим: dz = ydx+xdy. Этот же результат можем получить геометрически.

Функцию z = xy можно рассматривать как площадь прямоугольника со сторонами х и у:

Приращение функции D z можно представить как приращение площади z:

= .

Главная часть этого приращения, при D x ®0, D y ®0 (это два прямоугольника со сторонами y ·D x и x · D y) - есть дифференциал

dz = у D x + x D y = ydx + xdy.

Пример. Вычислить полный дифференциал функции:

1. ; 2. .

Решение. 1. ;

2. .