Определение через абстракцию

Определения, связанные с выделением такого типа объектов через установление между ними отношений равенства, равнозначности, тождества, получили название определений через абстракцию. В таком определении данное математическое понятие определяется как семейство классов эквивалентности по некоторому отношению эквивалентности. Например, натуральное число n - это характеристика класса эквивалентных конечных множеств, состоящих из n элементов.

Остенсивные определения.

Остенсивные определения - определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия – это понятия, когда значения неизвестных выражений определяются через выражения, значения которых известны.

Определение называется корректным, если выполняются два условия:

а) отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов (“Решение уравнения - это то число, которое является его решением”);
б) отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.

Вопрос

Формой связи понятий друг с другом является суждение. Если суждения правильно отображают объективно существующие зависимости между вещами, то такие суждения называют истинными; в противном случае суждения будут ложными. Процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений называется умозаключением. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).

Аксиома (греч. - авторитетное предложение “то, что приемлемо”) -предложение, принимаемое без доказательства. Аксиомы и первичные (неопределяемые) понятия составляют основной фундамент математической теории.

К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются требования независимости, непротиворечивости, полноты.

Постулат (лат. - требование) - предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

При изучении свойств различных математических объектов приходится делать те или иные заключения, то есть на основе понятий и суждений того или иного раздела математики строить предложения, истинность которых необходимо обосновать.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой.

Существует два вида формулирования теоремы: условная, категорическая. Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти в другому. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы) (рис. 10).

Рис. 10. Структура теоремы

Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что P истинно, в соответствии с правилами вывода показать, что G истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание (теорема) истинно в целом.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

1. Тезис (главная цель доказательства - установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса - суждение.

2. Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключению, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

3. Демонстрация -логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Известно, что имея некоторую (прямую) теорему (P => G), можно образовать новые теоремы, и не одну:

G => P -обратная;
_ _
P => G -противоположная;
_ _
G => P -контрапозитивная (обратная противоположной или противоположнообратная).

Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь:
_ _
а) (P =>G) и (G => P) -одновременно истинны или ложны;
_ _
б) (G =>P) и (P => G) -одновременно истинны или ложны.

Изучая какую-либо теорему школьного курса математики, учитель должен придерживаться следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

2. Обращение к опыту учащихся.

3. Высказывание предположения.

4. Поиск возможных путей решения.

5. Доказательство найденного факта.

6. Проведение доказательства в максимально простой форме.

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотива­ция изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в тео­реме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоми­нание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказа­тельства; доказательство теоремы; применение теоремы; уста­новление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

Меню