I. Понятие определенного интеграла

Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).

Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .

На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξ_i (i=1,2,3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f (x): f (ξ₁), f (ξ₂), f (ξ₃)…, f (ξ_n).

Составим произведения длин ∆x₁, ∆x₂, …,∆x_n частичных отрезков на значения функции f (ξ_i).

Все эти произведения сложим и выразим сумму их через

(1)

где σ= f (ξ₁)∆х₁+ f (ξ₂) ∆х₂+ f (ξ₃)∆х₃+…+ f (ξ_n)∆х_n; или

Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f (x)на отрезке [a;b].

Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b] однако так, чтобы длина ∆ x_iкаждого отрезка [x_i-1;x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.

Еслипри этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f (x)на отрезке[a;b].

Определение.

Если существует пределсуммы (1) при ∆х_i→0, то говорят, что функция f (x) интегрируема на [a;b], число I называют определенным интегралом от функции f (x) на [a;b]. ,

где числа «а» и «b» называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним, верхним; отрезок [a;b] – промежутком интегрирования.