2015-10-13
2086
Задание: составьте математическую модель и получите решение задачи линейного программирования, используя симплексный метод. Проведите анализ решения задачи на чувствительность, то есть определите, в каком интервале можно менять входные параметры модели без нарушения базиса, формирующего оптимальное решение. Найдите скрытые доходы предприятия.
Таблица 3-1
Варианты заданий
| № | Текст задачи |
| Максимальная площадь, которая согласно перспективному плану может быть отведена под плодовые деревья, составляет 1000 га. На этой площади предполагается посадить три вида деревьев: семечковые, косточковые и ягодники. В хозяйстве имеются следующие три вида ограниченных ресурсов: пашня - 1 тыс.га, трудовые ресурсы - 200 тыс. чел.-дн. (человеко-дней), денежно-материальные - 600 тыс. у.е. Известно, что на 1 га для семечковых затраты ресурсов составляют: трудовые – 100 чел.-дн., денежно-материальные – 400 у.е.; для косточковых – соответственно 60 чел.-дн.и 200 у.е.; для ягодников – соответственно 200 чел.-дн.и 800 у.е.. Требуется определить такие площади посадок каждого вида, чтобы обеспечить общий максимум продукции в стоимостном выражении, если цена продукции с 1 га семечковых – 3 у.е., косточковых – 2 у.е., ягодников – 5 у.е. | |
| Требуется составить смесь, содержащую химические вещества А, В, С. Известно, что составленная смесь должна содержать вещества А не менее 6 единиц, вещества В не менее 8 единиц, вещества С не менее 12 единиц. Вещества А, В и С содержатся в трех видах продуктов – Р1, Р2 и Р3. Концентрации веществ А, В и С в продукте Р1 соответственно – 2, 1 и 3 единицы, в продукте Р2 – 1, 2 и 4 единицы, Р3 – 3, 1.5 и 2 единицы. Стоимость единицы продукта Р1 – 2 у.е., Р2 – 3 у.е., Р3 – 2.5 у.е. Смесь нужно составить так, чтобы стоимость используемых продуктов была наименьшей. | |
| Предприятие выпускает два вида продукции Р1 и Р2. Для производства единицы продукции Р1 используется 2 единицы оборудования А и 4 единицы оборудования С. Для производства единицы продукции Р2 используется 1 единица оборудования А и 6 единиц оборудования В. Сколько единиц продукции каждого вида должно выпускать предприятие, чтобы получить наибольший доход, если известно, что каждая единица продукта Р1 дает предприятию 3 у.е., а вида Р2 – 5 у.е.. Предприятие располагает 8 ед. оборудования А, 18 единиц. оборудования В и 16 единиц. оборудования С. | |
| Продолжение табл.3-1 | |
| № | Текст задачи |
| Для откорма животных употребляется два вида корма К1 и К2. В каждом кг корма К1 содержится 5 единиц питательного вещества А и 2,5 единицы питательного вещества В. В каждом кг корма К2 содержится 3 единицы питательного вещества А и 3 единицы питательного вещества В. Известно, что откорм животных выгоден, если каждое животное будет получать в дневном рационе не менее 30 единиц питательного вещества А и не менее 22,5 единиц питательного вещества В. Известно также, что стоимость 1 кг кормов одинакова и равна 1 у.е. Каков должен быть ежедневный расход корма каждого вида, чтобы затраты на корм были минимальными? | |
| Фабрика выпускает два вида каш для завтрака «Здоровье» и «Богатырь». Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска каш, является фонд рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики. Число человеко-часов, затрачиваемых при производстве 1 т каши «Здоровье», в цехе производства составляет 10, в цехе добавки приправ – 3, в цехе упаковки – 2. Аналогичные показатели для каши «Богатырь» соответственно составляют 4, 2 и 5. Общий фонд рабочего времени в месяц составляет для цеха производства 1000, цеха добавки приправ – 360, цеха упаковки – 600 человеко-часов в месяц. Доход от производства 1 т каши «Здоровье» составляет 150 у.е., каши «Богатырь» – 75 у.е. Ограничений на объемы продаж каш нет. Требуется разработать план производства на месяц, который обеспечит максимальный доход фабрики. |
| Продолжение табл.3-1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кампания выпускает три вида химикатов Р1, Р2 и Р3, используя для производства три вида сырья А, В, С и Д. Расходы сырья на производство 1 кг каждого химиката, ежедневные запасы сырья и цены продажи (у.е.) выпускаемых химикатов приведены в таблице. Обязательный ежедневный спрос химиката Р3 составляет не менее 200 кг.
Требуется разработать план производства на месяц, который обеспечит максимальный доход компании.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки питательных веществ В1 не менее 4 ед., вещества В2 – не менее 6 ед., В3 – не менее 9 ед., В4 – не менее 6 ед. Имеется два вида пищи Р1 и Р2. В 1 кг пищи Р1 содержится питательных веществ: В1 – 1, В2 – 0, В3 – 1, В4 – 3 ед. В 1 кг пищи Р2 содержится питательных веществ: В1 – 1, В2 – 3, В3 – 3, В4 – 2 ед. Стоимость 1 кг пищи Р1 составляет 3 у.е., 1 кг Р2 - 2 у.е. Требуется так организовать питание, чтобы стоимость его была наименьшей, а организм получал бы суточную норму питательных веществ. |
| Продолжение табл.3-1 | |
| № | Текст задачи |
| Фирма имеет лесные ресурсы, лесопильный завод по производству пиломатериалов и фабрику по производству фанеры, Перед фирмой стоит задача наиболее рационального использования лесоматериалов. Чтобы получить 2,5 куб.м пиломатериалов, необходимо 2,5 куб.м еловых и 7,5 куб.м пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 кв.м фанеры необходимо 5 куб.м еловых и 10 куб.м пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 куб.м еловых и 180 куб.м пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок фирме в планируемый период необходимо произвести по крайней мере 10 куб.м пиломатериалов 1200 кв.м фанеры. Доход с 1 куб.м пиломатериалов составляет 16 у.е., со 100 кв.м фанеры – 60 у.е. Определить оптимальное количество изготавливаемых пиломатериалов и фанеры. | |
| Фирма пытается оптимально распределить два сорта имеющейся у ней нефти (А и В) по двум технологическим процессам (ТП). Показатели ТП1: из 1 единицы объема нефти А и 3 единиц объема нефти В получается 5 единиц объема бензина А73 и 2 единицы объема бензина А76. Показатели ТП2: из 4 единиц объема нефти А и 2 единиц объема нефти В получается 3 единицы объема бензина А73 и 8 единиц объема бензина А76. Максимальное количество нефти А равно 100 единицам объема, нефти В – 150 единицам объема. По условиям поставок необходимо произвести не менее 200 единиц объема бензина А73 и 75 единиц объема бензина А76. Доход с единицы объема продукции на ТП1 составляет 1 у.е., на ТП2 – 2 у.е. |
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фабрика производит порошок для изготовления солодовых напитков трех видов Н1, Н2 и Н3. В таблице приведены для каждого напитка основные ингредиенты, их стоимость и размер недельного запаса, а также оценки максимального спроса на соответствующие напитки за неделю:
Запас витаминных добавок неограничен. Издержки производства за 1 кг напитка Н1 составляют 0,1 у.е. за 1 кг, напитка Н2 – 0,09 у.е. за 1 кг, Н3 0,12 у.е. за 1 кг.
Требуется определить оптимальные объемы выпуска напитков на неделю, обеспечивающие максимальную прибыль фабрики. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фирма производит два популярных безалкогольных напитка «Квас» и «Байкал». Фирма может продать всю произведенную продукцию без ограничения. Объем производства напитков ограничивается производственной мощностью оборудования и количеством основного ингредиента. Для производства 1 л напитка «Квас» требуется 0,02 ч. работы оборудования, а для производства 1 л «Байкал» – 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л напитка «Квас» и «Байкал» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч. времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Доход фирмы за 1 л напитка «Квас» составляет 1 у.е., напитка «Байкал» - 3 у.е. Сформулировать задачу линейного программирования, позволяющую определить, сколько единиц продукции каждого вида должно выпускать предприятие, чтобы получить наибольший доход. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Завод выпускает пять видов сходных друг с другом товаров Т1, Т2, Т3, Т4 и Т5. В таблице приведены расходы ресурсов, необходимые для выпуска единицы каждого товара, а также недельные расходы каждого ресурса и цены продажи каждого товара. Известны также издержки, связанные с каждым видом ресурсов: сырье – 2,1 у.е. за 1 кг; сборка – 3 у.е. за 1 ч; обжиг – 1,3 у.е. за 1 ч., упаковка – 8 у.е. за 1 ч. Определить объемы производства каждого вида товара в неделю, обеспечивающие максимальную прибыль завода.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Завод по производству стиральных машин выпускает четыре вида моделей 1, 2, 3 и 4. В производственный процесс вовлечены три цеха: узловой сборки, сборочный и испытательный. Время, требуемое для обработки модели 1 в каждом цехе, составляет соответственно 5, 2 и 0,1 часа, модели 2 – 8, 3 и 0,2 часа, модели 2 – 20, 8 и 2 часа, модели 4 – 25, 14 и 4 часа. Максимальная производственная мощность цеха узловой сборки составляет 800 ч/мес., сборочного – 420 ч/мес и испытательного – 150 ч/мес. Максимальное прогнозное значение спроса и доход от реализации единицы модели 1 составляет соответственно 100 шт. и 150 руб., модели 2 – 45 шт. и 300 руб., модели 3 – 25 шт. и 1200 руб., модели 4 – 20 шт. и 1300 руб. Сформулировать задачу линейного программирования, позволяющую определить, сколько единиц стиральных машин каждого вида должно выпускать предприятие, чтобы получить наибольший доход. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 рублей капитала так, чтобы получать максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций A, B, C и D. Объект А позволяет получать 6 % годовых, объект B – 8 % годовых, объект C – 10 % годовых, а объект D – 9 % годовых. Для всех четырех объектов степень риска и условия размещения капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций (объем капитала, вложенный во все объекты) необходимо вложить в объекты A и B. Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25 % общей суммы капитала нужно поместить в объект D. Учитывая возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в объект С следует вкладывать не более 20 % инвестиций, тогда как особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30 % капитала. Сформулировать задачу линейного программирования, позволяющую определить размеры инвестиций в объекты A, B, C и D, для получения наибольшего дохода. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фирма производит два вида продукции А и В. Фирма располагает фондом рабочего времени в 4000 человеко-часов (чел.-час.) в неделю. Для производства единицы продукции А требуется 1 чел.-час., 2 кг металлических стержней и 5 кг листового материала. Для производства единицы продукции В требуется 2 чел.-час., 5кг металлических стержней и 2 кг листового материала. Уровень запаса каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Производственные мощности фирмы позволяют выпускать максимум 2250 ед. продукции А и 1750 ед. продукции В в неделю. Еженедельно фирма поставляет 600 ед. продукции А своему постоянному заказчику. Существует профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число произведенной продукции должно составлять не менее 1500 ед. Сколько единиц продукции А и В должна выпускать фирма, чтобы получить наибольший доход за неделю, если доход от реализации единицы продукции А составляет 30 у.е., продукции В – 40 у.е. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| На заводе имеется два штамповочных пресса, на которых штампуются три вида изделий. Изделие 1-го вида продается за 23 руб/кг, 2-го – 26 руб/кг, 3-го – 40 руб/кг. Часовая производительность одного пресса при производстве изделий 1-го вида составляет 2000 кг, 2-го – 1500 кг и 3-го – 1000 кг. Стоимость эксплуатации пресса одинакова при любой производительности. В качестве сырья для изготовления изделий 1-го вида завод использует свой металл стоимостью 18 руб/кг, для изготовления изделий 2-го и 3-го видов закупаются сплавы по цене соответственно 20 руб/кг и 25 руб/кг. Мощности завода не позволяют производить более 40000 кг металла в сутки, сплав для изготовления изделий 3-го вида может приобретаться в размере не более 12000 кг в сутки. Суточный уровень производства изделий не может превышать 120000 кг. Сколько изделий каждого вида завод должен производить в сутки, чтобы получить максимальную прибыль? | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Нефтяная компания для улучшения эксплуатационных характеристик дизельного топлива добавляет в него химикаты X, Y, Z. В 1000 л топлива должно содержаться не менее 40 мг химиката X, 14 мг – химиката Y и 18 мг – химиката Z. Химикаты X, Y, Z в форме смесей поставляют две химические компании: компания А по цене 300 рублей за 1 л, компания В по цене 150 рублей за 1 л. В смеси компании А содержатся химикаты в количестве X – 4 мг/л, Y –2 мг/л, Z – 3 мг/л, в смеси компании В соответственно 5 мг/л, 1 мг/л, 1 мг/л. Требуется определить объемы закупок химикатов у фирм, минимизирующие общую стоимость добавленных в топливо химикатов. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Предприятие имеет месячный цикл производства и производит два вида краски А и В. Одна тонна краски типа А приносит прибыль 2000 руб., а одна тонна краски типа В – 2500 руб. Производственные мощности позволяют выпускать в месяц суммарно 500 т краски всех типов. Отдел маркетинга требует, чтобы краски типа А производилось не 200 т в месяц, поскольку есть договоры на такое количество, а краску типа В нельзя производить более 150 т, поскольку большее количество трудно реализовать. Для изготовления одной тонны красок А и В необходимо сырье трех видов согласно таблице.
Какое количество краски каждого вида необходимо производить предприятию для получения максимальной прибыли? |
| Продолжение табл.3-1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | |||||||||||||||||||||||||||||
Парфюмерная фирма выпускает три вида помады: жидкую, перламутровую и матовую с использованием смесеобразующих машин и видов работ. Данные о ценах продажи и затраты на 100 кг товара проведены в таблице (у.е.):
Стоимость 1 человеко-часа составляет 3 у.е., а стоимость 1 ч приготовления смеси – 4 у.е. Фонд рабочего времени ограничен 8000 человеко-часами в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч в неделю. В соответствии с контрактом фирма должна производить 25000 кг матовой помады в неделю. Максимальный спрос на жидкую помаду равен 35000 кг в неделю, а на перламутровую – 29000 кг в неделю. Определить объемы производства каждого вида помады, которые обеспечат получение максимум прибыли. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Фабрика детских игрушек на сборочном участке собирает три вида игрушек: модели легкового автомобиля, гоночного автомобиля и грузовика. При сборке каждого вида игрушки используется три типа операций. Время выполнения каждой операции в минутах для сборки одной игрушки, показано в таблице. Ежедневный фонд рабочего времени каждой операции ограничен величинами 490, 500 и 580 минут. |
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||
Доход на одну игрушку каждого вида составляет соответственно 85,100 и 75 руб.
Сколько игрушек каждого вида нужно производить ежедневно, чтобы получить максимальный доход? Выгодно ли фабрике производить новую игрушку экскаватор, прогноз дохода по ней составляет 150 руб.? Каждая модель экскаватора требует 3, 4 и 3 минуты выполнения операций трех видов. | |||||||||||||||||||||||||||
Завод производит три типа (I, II и III) некоторого изделия, используя для этого материал А и В. В таблице приведены необходимые данные по расходу материалов на единицу изделия. На изготовление единицы изделия типа I затрачивается в два раза больше рабочего времени, чем на изготовление единицы изделия типа II, и в три раза больше, чем на изготовление единицы изделия типа III. Рабочие ресурсы завода эквивалентны ресурсам, необходимым для изготовления 1500 шт. изделия типа I. Завод работает в две смены. Продолжительность одной смены 7,5 часа. Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.
| |||||||||||||||||||||||||||
| Продолжение табл.3-1 | |||||||||||||||||||||||||||
| № | Текст задачи | ||||||||||||||||||||||||||
| Продукцией завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. Затраты рабочего времени на разлив 1 т молока и кефира составляют соответственно 0,18 и 0,19 часа. Затраты на расфасовку 1 т сметаны 3,25 часа. Всего в сутки завод может обработать 136 т молока. Оборудование по разливу может использоваться 21,4 часа, а автоматы по расфасовке – 16,25 часа в сутки. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 25, 30 и 136 у.е. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т расфасованного молока. На остальную продукцию ограничений нет. | |||||||||||||||||||||||||||
Фермеру Иванову необходимо внести минеральные удобрения под новую для него сельскохозяйственную культуру. По рекомендациям на эту культуру в расчете на один гектар надо вносить 10 кг азота, 8 кг фосфора и 5 кг калия. На рынке имеется четыре вида подходящих удобрений разных производителей. Содержание необходимых элементов в килограммах и цена в расчете на 1 тонну для этих удобрений приведена в таблице.
Сколько удобрений каждого типа нужно купить Иванову, чтобы было подешевле и чтобы содержание необходимых элементов было не меньше, чем рекомендовано? Всего Иванов планирует внести удобрения на 90 гектаров. |
Ход работы
1. Записать условия задачи в табличной форме.
2. Составить математическую модель задачи.
3. Записать математическую модель задачи в канонической форме
4. Загрузить приложение Лин_прогр.exe.
5. Ввести в программу исходные данные и, используя симплексный метод, получить решение задачи. Сформировать файл отчета.
6. Открыть файл отчета c помощью программы Microsoft Excel, оформить и распечатать файл отчета.
7. Решите задачу в табличном процессоре Excel.
Пример
Компания MANCO производит три вида продукции: РI, Р2 и РЗ. В производственном процессе используются материалы Ml и М2, обрабатываемые на станках С1 и С2. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производственный процесс изготовляемой продукции.
Таблица 3-2
Условия задачи в табличной записи
| Ресурсы | Количество ресурсов на единицу изделия | Ежедн. фонд | ||
| Р1 | Р2 | Р3 | ||
| Время работы станка С1, минуты | ||||
| Время работы станка С2, минуты | ||||
| Материал Ml, фунты | ||||
| Материал М2, фунты |
Ежедневный объем производства изделия Р2 должен быть не менее 70 единиц, а изделия РЗ – не более 240 единиц. Доход на единицу изделия РI, Р2 и РЗ составляет соответственно 300, 200 и 500 долларов. Определить объемы выпускаемой продукции, при которых получаемая предприятием прибыль будет максимальной.
Математическая модель:
| ЦФ | F = | 300 х 1 | + 200 х 2 | +500 х 3 | → max |
| Ограничения: | х 1 | +2 х 2 | + х 3 | ≤ 430, | |
| 3 х 1 | + 0 х 2 | + 2 х 3 | ≤ 470, | ||
| 1 х 1 | + 4 х 2 | + 0 х 3 | ≤ 420, | ||
| х 1 | + х 2 | + х 3 | ≤ 300 | ||
| х 2 | ≥ 70 | ||||
| х 3 | ≤ 240 | ||||
| х 1 ≥ 0, | х 2 ≥ 0, | х 3 ≥ 0, |
