Ранговые коэффициенты связи

Методы измерения тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические.

Параметрические методы обычно используются, если изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. Собственно, параметрические методы и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не налагают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Они предполагают использование оценок-рангов. Их преимуществом является простота вычислений. В частности, к непараметрическим показателям связи относится коэффициент Фехнера.

Поэтому в анализе социально-экономических явлений часто прибегают к условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между признаками измеряют с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование – это упорядочение изучаемых объектов на основе предпочтения. Ранг – это порядковый номер индивидуальных значений признака, расположенных по возрастанию или убыванию. Оба признака необходимо ранжировать (нумеровать) в одном и том же порядке: от меньших значений к большим,
и наоборот. Если несколько значений признака x (или y) одинаковы, то их ранг равен частному от деления суммы рангов (мест в ряду), приходящихся на эти значения, на число равных значений. Такие ранги называются связанными.

Вывод о наличии связи между изменениями значений признаков x и y делают на основе сравнения поведения рангов
по двум признакам параллельно. Например, если у каждой
пары x и y ранги совпадают, то это говорит о максимально
тесной прямой связи. Если наблюдается противоположность
рангов (в одном ряду ранги возрастают от 1 до n, а в другом – убывают от 1 до n), то налицо максимально возможная обратная связь.

С помощью ранговых коэффициентов связи Спирмена (r), Кендалла (t) и конкордации (W) можно оценивать и измерять связь между как количественными, так и качественными признаками, которые поддаются ранжированию (рейтинги, квалификации и т. п.).

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле

,

где d – разность рангов x и y;

n – число наблюдений (число пар рангов).

Эта формула применяется в случае, если ранги не повторяются, т. е. ранги y не совпадают с рангами x. Коэффициент Спирмена может принимать значения от –1 до +1. Например, если r = 0, то связь между признаками отсутствует. При r = –1 связь является максимально тесной обратной, при r = 1 связь является максимально тесной прямой.

Коэффициент учитывает только разность рангов, а не самих значений, поэтому он менее точен по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t -критерия Стьюдента (приложение 5). Фактическое (расчетное) значение критерия определяется по формуле

.

Значение коэффициента корреляции считается статистически значимым (существенным), если t _расч > t _табл (a; k = n – 2).

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (t) используется для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, ранжированными по одному принципу и характеризующими однородные объекты.

Расчет коэффициента ведется по формуле

,

где n – число наблюдений;

S – сумма разностей между числом последовательностей и чис-
лом инверсий по второму признаку.

Обычно коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. Связь между признаками считается статистически значимой, если значения этих коэффициентов больше 0,5. При достаточно большом объеме совокупности между коэффициентами имеется следующая зависимость:

Коэффициент Кендалла рассчитывают по следующему алгоритму.

1. Значения x ранжируются в порядке возрастания или убывания.

2. Значения y располагаются в порядке, соответствующем значениям x.

3. Для каждого ранга y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя числа, определяют положительную величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по x и y.

4. Для каждого ранга y определяют число следующих за ним рангов, меньших его величины. Сумма обозначается через Q (фиксируется со знаком «минус»).

5. Определяется сумма баллов S = P + Q по всем членам
ряда.

Таким образом, ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла имеют ряд преимуществ:

· не требуется знать форму связи признаков;

· простота расчетов;

· возможность измерения связи не только между количественными, но и между ранжированными качественными (атрибутивными) признаками.

Если число ранжируемых признаков (факторов) больше двух, то для измерения тесноты связи между ними используется
коэффициент конкордации (множественный коэффициент ранговой корреляции) W:

,

где m – число ранжируемых признаков (количество факторов);

n – число ранжируемых единиц (число наблюдений);

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов
рангов.

Эта формула применяется, если ранги по каждому признаку не повторяются (не связанные ранги).

Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе c²-критерия Пирсона:

Фактическое значение c²_факт сравнивается с табличным c²_табл (приложение 6) при уровне значимости a (0,05 или 0,01) и числе

степеней свободы n = n – 1. Если c²_факт > c²_табл, то подтверждается значимость коэффициента, что свидетельствует о сильной связи между признаками.

Значения коэффициента находятся в пределах от –1 до 1. Коэффициент конкордации позволяет: 1) определить степень согласованности мнений экспертов о важности того или иного оцениваемого показателя; 2) составить рейтинг отдельных единиц по какому-либо признаку. Поэтому наиболее часто он используется в экспертных оценках.

Контрольные вопросы

1. Какая связь называется функциональной? В каких случаях она применяется?

2. Какая связь называется стохастической? В каких случаях она применяется?

3. Что называется корреляцией?

4. Какие вы знаете основные виды корреляционных связей?

5. В чем состоят задачи изучения взаимосвязей между явлениями?

6. В чем состоит корреляционно-регресионный анализ связей?

7. Какие статистические методы используются для выявления корреляционных связей?

8. Что называется регрессией?

9. С какой целью применяется уравнение регрессии?

10. Как определяются параметры уравнения регрессии?

11. Что показывает коэффициент эластичности?

12. Что характеризует уравнение множественной регрессии?

13. Какие показатели применяются для оценки тесноты связи между количественными признаками?

14. Как оценивается существенность (значимость) линейного коэффициента корреляции?

15. Как определяются теснота и направление связи с помощью линейного коэффициента корреляции?

16. Как определяется теснота связи с помощью корреляционного отношения?

17. В каких случаях применятся множественный коэффициент корреляции?

18. Какие показатели применяются для оценки тесноты связи между качественными признаками?

19. Что представляют собой коэффициенты корреляции рангов Спирмена и Кендалла?

20. Что такое коэффициент конкордации? Как он рассчитывается?

21. Как определяется значимость коэффициента конкордации?