Анализ временных рядов при прогнозировании перевозок

Анализ временных рядов (АВР) – простейший метод восстановления зависимости в детерминированном случае, исходя из заданного временного ряда. Основная задача – экстраполяция (прогноз) – самый постой способ прогноза рыночной ситуации. Суть его – распространение тенденций, сложившихся в прошлом и будущем.

Многие рыночные процессы обладают инертностью, что учитывают при прогнозах. На определенный период следует максимально принимать во внимание вероятность изменения условий функционирования рынка. Делается предположение, что система эволюционирует в достаточно стабильных условиях. Чем система крупнее, тем вероятнее сохранение параметров без изменения, но не на большой срок. Рекомендуется, чтобы период прогноза не превышал 1/3 длительности исходной временной базы.

Временной ряд – серия числовых величин, полученных через регулярные промежутки времени Основное положение, на котором базируется использование временных рядов на предприятии – факторы, влияющие на отклик изучаемой системы, действующие в прошлом, настоящем и подобным образом будут действовать в недалеком будущем.

Цель анализа – оценка и выделение факторов с целью прогноза дальнейшего поведения системы и выработки рациональных УР. Прогноз на основе АВР – краткосрочный, в отношении периода, которого принимается, характеристики изучаемого явления существенно не изменяются. Большинство прогнозных ошибок связано с тем, что прогноз предполагает сохранение прошлых тенденций в будущем. Эта гипотеза редко оправдывается в экономической и общественной жизни.

ВР могут стать плохой основой для разработки прогноза, поэтому методы прогнозирования и АВР применяют для краткосрочного прогнозирования достаточно стабильных и хорошо изученных процессов. Прогнозируемый период не превышает 25-30% исходной временной базы. При использовании уравнения регрессии прогнозные расчеты проводят для оптимистических и пессимистических оценок исходных параметров. Отсюда получают 2 вида прогнозов: оптимистический и пессимистический. Прогнозную оценку, получаемую на основе методов прогнозирования, используют как индикатор желаемой величины прогнозного параметра.

ВР включает в себя:

1) тренд – показывает общий тип изменений, долгосрочного уменьшения и увеличения ряда,

2) сезонные колебания – колебания вокруг тренда, которые возникают на регулярной основе.

Обычно регулярные колебания возникают в период до года. Могут отслеживаться при ежеквартальных, ежемесячных, еженедельных и т.д. наблюдениях.

3) циклические колебания – возникают в периоды свыше года. Часто присутствуют в финансовых данных и связаны с резким спадом, бурным ростом и периодом застоя.

4) случайные колебания – непредсказуемые колебания в большинстве реальных ВР.

Требования к данным временного ряда

Все методы прогнозирования используют математическую статистику, поэтому необходимо, чтобы все данные были сопоставимы, достаточно представлены для проявления закономерности однородные и устойчивые. Невыполнение одного из этих требований делает бессмысленным применение математической статистики.

1. Сопоставимость достигается в результате одинакового подхода, к наблюдениям на разных этапах формирования временного ряда. Данные во временных рядах должны выражаться в одних и тех же единицах измерениях, иметь одинаковый шаг наблюдений, рассчитываться для одного и того же интервала времени по одной и той же методике, охватывать одни и те же элементы, принадлежащие одной территории и относящиеся к неизменной совокупности.

Несопоставимость данных чаще всего проявляется в стоимостных показателях. Даже в тех случаях когда значения этих показателей фиксируются в неизменных ценах. Такого рода несопоставимость временных рядов невозможно устранить чисто формальными методами.

2. Представительность данных характеризуется, прежде всего, полнотой представленных данных. Достаточное число наблюдений определяется в зависимости от цели проводимого исследования. Если целью является описательный статистический анализ, то в качестве изучаемого интервала времени можно выбрать любой интервал по своему усмотрению. Если же цель исследования - построение модели прогнозирования, то число данных исходного временного ряда должно не менее чем в 3 раза превышать период прогноза и не должно быть менее 7 данных. В случае использования квартальных или месячных данных для исследования сезонности и прогнозирования сезонных процессов, исходный временной ряд должен содержать квартальные либо месячные данные не менее чем за 4 года, даже если прогноз требуется на 1 или 2 месяца.

3. Однородность – отсутствие нетипичных аномальных наблюдений, а так же изломов тенденций (изменение). Аномальность приводит к смещению оценок и как следствие к искажению результатов анализа. Формально аномальность проявляется как сильный скачок или спад с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные стандартные критерии.

4. Устойчивость – это свойство отражает преобладание закономерности над случайностью в изменениях уровня и ряда. На графиках устойчивых временных рядов даже визуально прослеживается закономерность. А на графиках неустойчивых временных рядов – изменения представлены хаотично. Поэтому поиск закономерностей в таких временных рядах не имеет смысла.

Модели временных рядов

Статистические методы исследования исходят из предположения возможности представления значений временного ряда в виде комбинации нескольких компонентов, отражающих закономерность и случайность развития. В частности для краткосрочных прогнозов применяется аддитивная (адаптивная) и мультипликативная модели.

1. Адаптивная (аддитивная)

Y(t) = T(t) +S(t) + F(t)

t - номер временного интервала

T(t) – тренд развития (долговременная тенденция)

S(t) – сезонная компонента

Е(t) – остаточная компонента

2. Мультипликативная

Y(t) = T(t)*S(t)*F(t)

При односильном постоянстве амплитуды сезонной волны целесообразно использовать аддитивную модель. При изменении амплитуды сезонной волны соответствие с тенденцией среднего уровня используется мультипликативная модель. Иногда используются модели смешанного типа, они дают более точный результат, но содержательно плохо интерпретируются. Применение мультипликативной модели обусловлено тем что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Практика показывает что случаи, когда сезонные колебания исследуемого процесса велики и не очень стабильны, мультипликативная модель дает плохие результаты. Сезонная компонента характеризует устойчивые и внутригодичные колебания уровней – она проявляется в некоторых показателях представленных квартальными или месячными данными.

В моделях с аддитивной и мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинаковая.

Надо сделать:

1) расчет значений сезонной компоненты

2) вычитание сезонной компоненты из фактических значений – этот процесс называется десезонализации (устранение сезонности)

3) расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями

4) расчет среднего отклонения или средней квадратической ошибки

В прогнозировании также применяются модели кривых роста.

Кривые роста – математические функции предназначенные для аналитического выравнивания временного ряда.

Для описания кривых роста используются следующие функции

1. Прямая Y(t) = a+bt

2. Парабола Y(t) = a+bt =ct²

3. Гипербола Y(t) = a +b/t

4. Степенная

5. Показательная

6. Логарифмическая

7. Кривая Джонсона

8. Модифицированная экспонента

Сглаживание временных рядов

Выявление основной тенденции развития называется выравниванием или сглаживание временного ряда. Методы выявления основной тенденции – это методы выравнивания.

Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления – это укрупнение интервала динамического ряда. Для выявления тенденций развития используется метод скользящего среднего или метод экспоненциального сглаживания. Оба метода субъективны в отношении выбора параметров сглаживания. И именно в корректном выборе параметров проявляется интуиция исследователя.

Метод скользящего среднего – крайне субъективен и на результаты сглаживания сильно влияет длина периода сглаживаний. При небольших периодах не удается выявить трендовую компоненту. При больших периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.

Скользящая средняя порядка L – это временной ряд состоящий из среднеарифметических и среднеарифметических L в соседних значениях функции Y по всем возможным значениям времени. В качестве L – нечетное число, 3, 5,7 - трехточечные, пятиточечные и семиточечные.

Трехточечная схема: среднее значение будет рассчитываться по 3м значениям Yi, одно из которых относится к прошлому периоду, второе к искомому и 3 к будущему периоду. При i = 1 не существует прошлого значение, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. При i = 2 то среднее значение будет средним арифметическим.

В последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому.

Метод экспоненциального сглаживания – в отличие от скользящего среднего может быть использован для краткосрочным прогнозов в будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом перед предыдущим.

Алгоритм расчета сглаженных значений в любой точке ряда основан на 3х величинах: наблюдаемом значении Yi в данной точке, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда и некоторым заранее заданным коэффициентам сглаживания, постоянным по всему ряду.

Fi = α*Yi +(α-1)*Fi

Yi –фактическое значение итой точки ряда.

Сглаженное значение для предшествующей точки ряда - (альфа-1)

Альфа может принимать любые значения от 0 до1, но обычно на практике ограничиваются интервалом от 0,2 до 0.5

Метод Хольта. L_t=k*Y_t+(1-k)*(L_t-1-T_t-1), где

- L_t – сглаженная величина на текущий период;

- k – коэффициент сглаживания ряда;

- Y_t – текущие значение ряда (например, объём продаж);

- L_t-1 – сглаженная величина за предыдущий период;

- T_t-1 – значение тренда за предыдущий период.