Элементы комбинаторики

1. Пусть имеем три элемента a, b, c. Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb – их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называются размещениями, обозначаются .

2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками, обозначаются .

3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями, обозначаются .

или

Следует помнить, что .

Пример. Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение.

5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределить способами, 2 билета среди 6 девушек можно распределить способами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов , а число всех возможных исходов . Тогда

Основные теоремы.

Теоремы сложения

1. Вероятность наступления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P (A+B) =P (A) +P (B).

2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P (A+B) =P (A) +P (B)– P (AB).

Теоремы умножения

Определения.

1) События называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или не произошло.

2) События называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое или нет.

3) Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью, обозначается (читается: «Р от А при условии, что В произошло»).

Теорема 1. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло.

или

Теорема 2. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача. Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают две карты. найти вероятность того, что будут вынуты два валета.

Пусть А – событие, состоящее в том, что первая карта – валет;

В – событие, состоящее в том, что вторая карта – валет;

С – событие, состоящее в том, что вынуты два валета.

Тогда . События А и В – зависимые, тогда .

Полная группа событий

Если сумма событий есть достоверное событие (т. е., в результате испытания хотя бы одно из них непременно произойдет), то события образуют полную группу событий. Если эти события попарно несовместны, то образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теорема. Если образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна 1. .

Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Или: противоположным событию А называется событие , состоящее в ненаступлении А (читается «не А»).

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1: .

Если , то p+q= 1.

Вероятность наступления хотя бы одного события

Теорема. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . – независимые в совокупности события. Тогда .

Задача. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение часа выйдет из строя, равна 0,015, для второго и третьего станков эти вероятности равны 0,02 и 0,025. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок выйдет из строя.

Пусть – событие, состоящее в том, что первый станок в течении часа выйдет из строя;

– второй;

– третий;

А – событие, состоящее в том, что хотя бы один из станков выйдет из строя.

;

Тогда .

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти только с одним из событий , которые образуют полную группу попарно несовместных событий. События называются гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез и условные вероятности события А по гипотезам, т. е. , тогда

Задача. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго – 30%, с третьего – 50% всех деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что наудачу взятая со сборки деталь будет бракованная.

Пусть – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена на первом автомате, – на втором, – на третьем. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая со сборки деталь будет бракованная.

, ,

Формула Бейеса

Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Но пусть уже известно, что событие А – произошло. Тогда вероятность гипотезы после опыта определяется по формуле:

P (A) находим по формуле полной вероятности.

Задача. Два автомата производят одинаковые детали, которые собираются на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше второго. Первый производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом.

– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, – вторым. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь отличного качества.

Тогда ;

Формула Бернулли

Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью P (A)= p, причем . Последовательность появления события А не имеет значения. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступает ровно m раз вычисляется по формуле:

где – число сочетаний из n элементов по m (см. выше).

Задача. Орудие стреляет по цели пять раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что орудие попадает два раза.

Случайные величины

Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из возможных своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств, которые не всегда можно учесть. Обозначается X, Y, Z, …, возможные ее значения обозначаются .

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом или рядом распределения.

Пример. Бросаем игральную кость. Случайная величина X – число выпавших очков, ее возможные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из этих значений появляется с вероятностью . Тогда:

X
P

– ряд распределения случайной величины.

Так как в каждом испытании случайная величина обязательно примет одно из возможных своих значений, то события образуют полную группу попарно несовместных событий, а поэтому .

Пример (см. задание 8). Составить закон распределения числа отказавших элементов прибора, если элементов три, а вероятность отказа каждого, независимо работающего элемента равна 0,2.

Пусть случайная величина X – число отказавших элементов, ее возможные значения: