Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим сложную функцию , где у=f(x). Запишем систему:

Выражение и называется логарифмической производной.

На практике очень часто приходится иметь дело с дифференцированием сложных степенных функций. Предварительное логарифмирование позволяет упростить эту задачу. Пример: .

Таким образом, .

Дифференциал функции

Вернемся к определению производной: С помощью свойства связи предела и бесконечно малой величины (см. главу Пределы), запишем: или . Так как - бесконечно малая и стремится к нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Тогда первое слагаемое и называется дифференциалом функции у=f(х). Для того, чтобы подчеркнуть это определение, принято записывать Рассмотрим геометрический смысл дифференциала:

Дифференциалом функцииу=f(х) первого порядка называется главная, линейная относительно приращения

, часть приращения функции

, равная произведению производной этой функции на приращение аргумента

, обозначаемое в этом случае, как dx. dy =

= tg a dx

Эквивалентность записи докажем и по-другому: пусть у=х, тогда

Отсюда и следует Кроме того, определение дифференциала обосновывает представление производной, как отношения: из dy = следует

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. dC = 0, C - постоянная (число).

2. d(Cy)= Cdy.

3. d(u v)= du dv.

4. d(uv)= v du+u dv.

5. .

Приведем обозначения для дифференциалов высших порядков: и т.д.

Формула для дифференциала используется в приближенных вычислениях. Действительно, из следует: , откуда . Чем меньше значение , тем точнее результат. К примеру, вычислим . Здесь и Тогда