Контрольная работа № 8

Приложение 1. Варианты контрольных заданий

В таблицах 1-2 приведены номера задач, входящих в контрольные работы: № 7 - «Интегральное исчисление функции одной переменной», № 8 - «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Студент должен выполнять контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой номера его зачетной книжки. Первая цифра номера задачи соответствует номеру контрольной работы, а последняя - номеру варианта.

Таблица 1

Контрольная работа № 7

Вариант	Номер задачи
	7.1	7.11	7.21	7.31	7.41	7.51	7.61
	7.2	7.12	7.22	7.32	7.42	7.52	7.62
	7.3	7.13	7.23	7.33	7.43	7.53	7.63
	7.4	7.14	7.24	7.34	7.44	7.54	7.64
	7.5	7.15	7.25	7.35	7.45	7.55	7.65
	7.6	7.16	7.26	7.36	7.46	7.56	7.66
	7.7	7.17	7.27	7.37	7.47	7.57	7.67
	7.8	7.18	7.28	7.38	7.48	7.58	7.68
	7.9	7.19	7.29	7.39	7.49	7.59	7.69
	7.10	7.20	7.30	7.40	7.50	7.60	7.70

Таблица 2

Контрольная работа № 8

Вариант	Номер задачи
	8.1	8.1	8.21	8.31	8.41	8.51	8.61
	8.2	8.12	8.22	8.32	8.42	8.52	8.62
	8.3	8.13	8.23	8.33	8.43	8.53	8.63
	8.4	8.14	8.24	8.34	8.44	8.54	8.64
	8.5	8.15	8.25	8.35	8.45	8.55	8.65
	8.6	8.16	8.26	8.36	8.46	8.56	8.66
	8.7	8.17	8.27	8.37	8.47	8.57	8.67
	8.8	8.18	8.28	8.38	8.48	8.58	8.68
	8.9	8.19	8.29	8.39	8.49	8.59	8.69
	8.10	8.20	8.30	8.40	8.50	8.60	8.70

Приложение 2.Условия заданий контрольных работ

Интегральное исчисление функции одной переменной (к. р. № 7)

7.1-7.10. Найти неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результат проверить дифференцированием.

7.1. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.2. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.3. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.4. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.5. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.6. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.7. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.8. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.9. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.10. a) ; б) ;

в) ; г) .

7.11-7.20. Вычислить определенные интегралы.

7.11. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.12. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.13. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.14. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.15. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.16. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.17. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.18. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.19. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.20. а) ; б) ;

в) ; г) .

7.21-7.30. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

7.21. а) ; б) ;

7.22. а) ; б) .

7.23. а) ; б) .

7.24. а) ; б) .

7.25. а) ; б) .

7.26. а) ; б) .

7.27. а) ; б) .

7.28. а) ; б) .

7.29. а) ; б) .

7.30. а) ; б) .

7.31-7.40. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей.

7.31. . 7.32. .

7.33. . 7.34. .

7.35. . 7.36. .

7.37. . 7.38. .

7.39. . 7.40. .

7.41-7.50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

7.41.

7.42.

7.43. (астроида).

7.44.

7.45.

7.46.

7.47. .

7.48.

7.49.

7.50.

7.51-7.60. Вычислить длину дуги кривой.

7.51.

7.52.

7.53. .

7.54.

7.55. .

7.56. , отсекаемой прямой y(x) = x.

7.57. , a > 0 - константа.

7.58.

7.59. y(x)= lncosx; .

7.60. .

7.61-7.70. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох или полярной оси фигуры, ограниченной следующими линиями.

7.61. , параметр а > 0.

7.62. y(x)= lnx, (1 £ x £ e).

7.63. .

7.64. , параметр a > 0.

7.65. .

7.66. .

7.67. .

7.68. .

7.69.

7.70.

Дифференциальные уравнения (к. р. № 8)

8.1-8.10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

8.11-8.20. Решить задачу Коши.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21-8.30. Найти общее решение дифференциального уравнения.

8.21. 8.22.

8.23. 8.24.

8.25. 8.26.

8.27. 8.28.

8.29. 8.30.

8.31-8.40. Найти общее решение линейного неоднородного дифферен-циального уравнения: в случае а - методом вариации произвольных постоянных; в случае б - определяя частное решение по виду правой части.

8.31. а) ; б) .

8.32. а) ; б) .

8.33. а) ; б) .

8.34. а) ; б) .

8.35. а) ; б) .

8.36. а) ; б) .

8.37. а) ; б) .

8.38. а) ; б) .

8.39. а) ; б) .

8.40. а) ; б) .

8.41-8.50. Составить дифференциальное уравнение, найти его частное решение, исходя из условий задачи.

8.41. Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), у которой длина подкасательной в каждой точке равняется ее удвоенной абсциссе.

8.42. Найти кривую, проходящую через точку А(1;1), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен абсциссе точки касания.

8.43. Найти кривую, проходящую через точку А(1;1/3), у которой угловой коэффициент касательной, проведенной к ней в любой точке, втрое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания.

8.44. Найти кривую, проходящую через точку А(2;1), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен соответствующей поднормали.

8.45. Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равен произведению координат точки касания.

8.46. Найти кривую, проходящую через точку А(1;3), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

8.47. Найти кривую, проходящую через точку А(1;1), у которой подкасательная равна сумме абсциссы и ординаты точки касания.

8.48. Найти кривую, проходящую через точку А(1;0), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен полярному радиусу точки касания.

8.49. Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), у которой произведение абсциссы точки касания и абсциссы точки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

8.50. Найти кривую, проходящую через точку А(-1;-2), у которой подкасательная в каждой точке равна 2.

8.51-8.60. Составить дифференциальное уравнение и задачу Коши, соответствующие условиям задачи. Указать тип уравнения и метод его решения.

8.51. При движении тела массой m в неоднородной среде сила сопро-тивления , где v - скорость тела; s - пройденный путь. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость - v₀.

8.52. Материальная точка массой m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F = F₀ cosw t, где F₀,w - константы. Найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени она имела скорость v₀.

8.53. С некоторой высоты вертикально вниз брошено тело массой m. Найти закон изменения скорости v = v(t) падения этого тела, если на него действует сила тяжести и тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости.

8.54. Тело, находящееся в начальный момент времени в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m.

8.55. Точка массой m движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности - k₁). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности - k₂). Найти зависимость скорости от времени, считая, что в начальный момент скорость равна нулю.

8.56. Частица брошена вертикально вверх со скоростью v₀. На нее действует сила тяжести и сила сопротивления F = 2kmv, где k - коэффициент пропорциональности, m - масса частицы и v - скорость. Найти расстояние частицы от точки бросания в любой момент времени t.

8.57. Изолированному проводнику сообщен заряд q_о. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в каждый момент времени пропорциональна наличному заряду проводника. Определить заряд проводника в любой момент времени t.

8.58. Тело массой m, брошенное вертикально вверх со скоростью v₀, испытывает сопротивление воздуха силой F = kv, где k - коэффициент пропорциональности, v - скорость. Найти закон движения тела.

8.59. Материальная точка массой m в момент времени t = 0 начинает прямолинейное движение без начальной скорости под действием силы, которая прямо пропорциональна времении обратно пропорциональна скорости движения точки. Найти закон движения точки.

8.60. Тело массой m движется с начальной скоростью v₀ под действием силы F = 10(1- t), которая совпадает по направлению со скоростью. Найти закон движения тела.

8.61-8.70. Решить систему линейных дифференциальных уравнений двумя способами: методом исключения и с помощью характеристического уравнения.

8.61. 8.62.