Высшая математика
Контрольные задания
Красноярск - 2001
Варианты контрольных заданий
В таблицах 1–3 приведены номера задач, входящих в задания контрольной работы № 1 “Элементы линейной и векторной алгебры”, контрольной работы № 2 “Аналитическая геометрия” и контрольной работы № 3 “Введение в математический анализ”. Студент должен выполнять контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его зачетной книжки.
Таблица 1
Контрольная работа № 1
Вариант | Номера задач контрольной работы № 1 | |||||
Таблица 2
Контрольная работа № 2
Вариант | Номера задач контрольной работы № 2 | ||||||
Таблица 3
|
|
Контрольная работа № 3
Вариант | Номера задач контрольной работы № 3 | ||||
Условия заданий контрольных работ
I. Элементы линейной и векторной алгебры (к. р. №1).
1–10. Вычислить определитель четвертого порядка.
11–20. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) матричным методом.
21–30. Записать систему линейных уравнений по ее расширенной матрице G. Исследовать совместность полученной системы и решить ее методом Гаусса.
31–40. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AC; 2) площадь и высоту BF треугольника BCD; 3) объем пирамиды ABCD и высоту, опущенную из точки A на грань BCD.
41–50. Даны векторы в некотором базисе. Найти:
1) проекцию вектора на вектор ;
2) векторное произведение .
Проверить, образуют ли векторы базис? Если да, то какой базис: левый или правый?
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
|
|
48.
49.
50.
51–60. Пусть – координаты произвольного вектора линейного пространства, заданные в некотором базисе. Известен закон изменения координат вектора под действием преобразования .
1. Доказать, что – линейное преобразование.
2. Составить матрицу линейного преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты вектора .
3. Найти образ вектора и прообраз вектора под действием преобразования .
4. Найти собственные векторы и собственные значения преобразования .
51. ; ; .
52. ; ; .
53. ; ; .
54. ; ; .
55. ; ; .
56. ; ; .
57. ; ; .
58. ; ; .
59. ; ; .
60. ; ; .
II. Элементы аналитической геометрии (к.р. №2)
61. Уравнение одной из сторон квадрата x+3y–5=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если P(–1;0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.
62. Даны уравнения одной из сторон ромба x–3y+10=0 и одной из его диагоналей x+4y–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке P(0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.
63. Уравнения двух сторон параллелограмма x+2y+2=0 и x+y–4=0, а уравнение одной из его диагоналей x–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.
64. Даны две вершины A(–3; 3) и B(5;–1) и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.
65. Даны вершины A(–3,–2), B(4;–1), C(1; 3) трапеции ABCD (AD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.
66. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x–4y+15=0 и 4x+y–9=0. Его медианы пересекаются в точке P(0; 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.
67. Даны вершины A(2,–2), B(3; –1), P(1; 0) пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.
68. Даны уравнения двух высот треугольника x+y=4 и y=2x и одна из его вершин A(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
69. Даны уравнения двух медиан треугольника x–2y+1=0 и y–1=0 и одна из его вершин A(1; 3). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
70. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x–2y–8=0 и 3x–2y–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.
71. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2:1.
72. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой x=–4.
73. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5: 4.
74. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем от точки B(1;0).
75. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2; 0)и от прямой 2x+5=0 относятся как 4: 5.
76. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3; 0) вдвое меньше расстояния от точки B(26;0).
77. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0; 2) и от прямой y–4=0.
78. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(3; 0)относятся как 1: 2.
79. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(2; 6) и от прямой y+2=0.
80. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4; 0) втрое дальше, чем от начала координат.
81–90. Привести заданное уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить ее.
81. 2x2–y2+x+2y=0.
82. x2+y2=2x+4y.
83. 2x2+3y2–4x+6x=0.
84. x2+4y2+1=2y.
85. 2x2+y2+6y=0.
86. 2x–x2+2y2=0.
87. 2x2–y2+4y=0.
88. x+2y–y2=0.
89. 2x2+x+2y2–4y=0.
90. x2+2x+4y2=2.
91–100. Даны уравнение плоскости P Ax+By+Cz+D=0,
канонические уравнения прямой L
|
|
и координаты двух точек E и F. Найти: 1) уравнение плоскости, проходящей через точку E параллельно плоскости P; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку F перпендикулярно прямой L; 3) угол между плоскостью P и прямой L; 4) расстояние от точки E до плоскости P; 5) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки E и F.
91. P: 5x–y+2z+1=0; E(1,–1, 2), F(1, 3, 3);
92. P: 2x+2y+z–5=0; E(–1,0, 3), F(0, 2, 2);
93. P: x+5y–z+7=0; E(2, 1, 3), F(0, –1, 2);
94. P: 2x+y–z+6=0; E(2, 3, 4), F(–1, 0, 1);
95. P: 3x+y–5z+4=0; E(1, –3, 2), F(2, 4, 1);
96. P: 2x+5y–4z=0; E(1, 1, 1), F(–1, 0, 3);
97. P: 3x+y–5z–1=0; E(1, 2, –4), F(3, 1, 1);
98. P: 6x–5y+8z+1=0; E(1, 0, 1), F(–1, 3, 2);
99. P: 6x–y+z+3=0; E(–1, 0, –1), F(2, 1, 3);
100. P: 6x+8z–4=0; E(–1, 3, 0), F(2, 1, 2);
101–110. Построить тело, ограниченное заданными поверхностями.
111–120. Линия задана уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам начиная от j=0 до j=2p, придавая значения с шагом p/8; найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
111. . 112. .
113. . 114. .
115. . 116. .
117. . 118. .
119. . 120. .
121–130. Выполнить следующие задания.
1. Решить уравнение .
2. Найти значение выражения .
3. Найти и изобразить на комплексной плоскости корни уравнения .
121. 1. .
2. .
3.
122. 1. .
2. .
3.
123. 1. .
2. .
3.
124. 1. .
2. .
3.
125. 1. .
2. .
3.
126. 1. .
2. .
3.
127. 1. .
2. .
3.
128. 1. .
2. .
3.
129. 1. .
2. .
3.
130. 1.
2.
3.
III. Введение в математический анализ (к. р. №3)
131–140. Найти область определения функции.
141–150. Построить график функции, используя преобразование одной из элементарных функций: , , , .
151–160. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
161–170. Найти точки разрыва функций, исследовать их характер:
а) построить графики функций (схематично);
б) исследовать на непрерывность функцию на соответствующих отрезках.
161. а) ;
б) на отрезках , , .
162. а) ;
б) на отрезках , , .
163. а) ;
б) на отрезках , , .
164. а) ;
б) на отрезках , , .
|
|
165. а) ;
б) на отрезках , , .
166. а) ;
б) на отрезках , , .
167. а) ;
б) на отрезках , , .
168. а) ;
б) на отрезках , , .
169. а) ;
б) на отрезках , , .
170. а) ;
б) на отрезках , , .
171–180. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют, исследовать их характер. Сделать чертеж.
171. 172.
173. 174.
175. 176.
177. 178.
179. 180.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1985.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984.
3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
4. Щипачев В. С. Основы высшей математики. М.: Высш. шк., 1989.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. М.: Высш. шк., 1986.