13.1. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому в линейном пространстве. Вернемся к линейным пространствам вообще – произвольным и произвольной (но конечной) размерности. До сих пор мы рассматривали пространства с некоторым фиксированным базисом. В этом базисе каждый вектор имел свои координаты, которые определялись однозначно. Посмотрим, как изменятся координаты вектора, если один базис линейного пространства заменить другим.
Итак, пусть в линейном пространстве зафиксирован базис
. Произвольный вектор
имеет некоторое разложение по этому базису:
.
Возьмем теперь другой базис . Каждый вектор нового базиса имеет свое разложение по старому базису:
Матрица , составленная из координат нового базиса в старом базисе, называется матрицей перехода:
.
Заметим, что –й столбец матрицы перехода – это столбец координат
-го вектора нового базиса в старом базисе.
Предложение. Матрица перехода от одного базиса к другому невырождена, т.е. .
Доказательство предложения следует из того, что столбцы этой матрицы линейно независимы, поскольку являются координатами векторов нового базиса в старом базисе.
Пусть в новом базисе вектор имеет другие координаты:
.
Посмотрим, как связаны координаты в новом и старом базисах.
Так как координаты вектора определены однозначно, то:
Эти равенства можно записать в матричном виде:
,
или , где
- это столбец координат вектора
в старом базисе, а
- столбец координат этого же вектора в новом базисе. Эту же формулу можно записать в виде
, выразив новые координаты вектора
через старые.
13.2. Линейные отображения. Пусть и
- два линейных пространства, вообще говоря, различных (но оба пространства должны быть вещественными или оба комплексными). Назовем отображением линейного пространства
в пространство
закон, по которому каждому вектору из пространства
ставится в соответствие единственный вектор из пространства
. Кратко мы это будем записывать
. Образ вектора
при отображении
будем обозначать
.
Определение. Отображение называется линейным, если для любых векторов
и любых чисел
выполняется равенство
.
Следует обратить внимание на то, что знак «+» в левой и правой частях равенства обозначает, вообще говоря, разные операции, поскольку и
- различные пространства. То же самое относится и к операции умножения на число.
Очевидно, что любое линейное отображение переводит нулевой вектор пространства в нулевой вектор пространства
.
Если , то линейное отображение называют линейным преобразованием, или линейным оператором.
Приведем некоторые примеры линейных отображений.
1). Пусть - линейное пространство и пусть
- некоторое число (вещественное или комплексное в зависимости от того, каким является пространство
). Поставим каждому вектору
из пространства
в соответствие вектор
. Получившееся отображение является линейным отображением
, которое называется гомотетией.
2). Пусть - некоторое линейное пространство размерности
. Выберем в нем базис. Сопоставим каждому вектору
столбец его координат. Это соответствие является линейным отображением пространства
в арифметическое линейное пространство R n.
Если же сопоставить каждому вектору его первую координату, то мы получим линейное отображение R.
3). Зафиксируем матрицу размера
х
. Возьмем арифметическое линейное пространство столбцов R n. Каждому элементу
этого пространства поставим в соответствие столбец
. Высота получившегося столбца равна
. Мы получили линейное отображение из R n в R m.
4). Пусть - линейное пространство многочленов одной переменной
. Каждому многочлену поставим в соответствие его производную по переменной
. Поскольку производная многочлена является многочленом, мы получим линейное отображение этого пространства на себя.
Пусть - линейное отображение.
Определение. Множество образов всех векторов называется образом линейного отображения
.
Обозначение: .
Определение. Множество векторов , для которых
, называется ядром отображения
.
Обозначение: .
Предложение. Ядро линейного отображения является подпространством в . Образ линейного отображения является подпространством в
.
Доказательство. 1). Ядро линейного отображения не пусто: оно всегда содержит нулевой вектор. Если , т.е.
, то в силу линейности отображения
для любых чисел
.
2). Нулевой вектор пространства принадлежит
, так как является образом нулевого вектора. Далее, если
, т.е. существуют векторы
такие, что
, то
.
Предложение доказано.
Задача. В примерах 1)-4) найти ядро и образ каждого отображения.
13.3. Координатная запись линейных отображений. Пусть - линейное отображение. Зафиксируем базис
в пространстве
и базис
в пространстве
. Пусть
- произвольный вектор, который в базисе
имеет разложение
, и пусть его образ
имеет в пространстве
разложение
. В силу линейности отображения
.
Получается, что образ вектора при линейном отображении может быть найден по координатам этого вектора, если известны образы базисных векторов.
Каждый из векторов может быть разложен по базису
:
Тогда
Поскольку координаты вектора определены однозначно, имеем:
Эти равенства можно записать в матричном виде:
. (*)
Матрицу размера
х
назовем матрицей линейного отображения в паре базисов
и
. Чтобы различить отображение и его матрицу в некотором базисе, будем отображение обозначать письменной латинской буквой, а его матрицу – печатной: отображение:
, оно имеет матрицу
в данном зафиксированном базисе. Образ любого вектора можно найти с помощью этой матрицы, умножив ее слева на столбец координат вектора.
Заметим, что для любой матрицы размера х
существует линейное отображение, такое, что эта матрица является матрицей этого отображения в данной паре базисов.
Рассмотрим отдельно случай, когда линейное отображение является линейным оператором, действующим на -мерном пространстве
. Зафиксируем базис в пространстве
. Тогда матрица
линейного оператора является квадратной и можно говорить об определителе этой матрицы. Заметим, что если
, то
. Это следует из того, что система линейных уравнений
имеет единственное нулевое решение. Если же
, то эта система имеет ненулевое решение, и в этом случае ядро оператора
нетривиально.
Задача. Пусть - линейное пространство многочленов степени не выше
. Очевидно, размерность этого пространства равна
. Пусть - линейный оператор
, сопоставляющий каждому многочлену его производную. Выберем в качестве базиса одночлены
. Найдите матрицу оператора в этом базисе.
13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах и
перейти к новым базисам. Пусть
и
- новые базисы. Обозначим через
матрицу перехода от
к
, через
- матрицу перехода от
к
. Тогда:
,
.
Подставим в равенство (*):
.
Отсюда
.
Значит, при изменении базисов матрица отображения преобразуется в матрицу
.
В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве . Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле
.
Предложение. Определитель матрицы линейного оператора инвариантен, т.е. не меняется при переходе от одного базиса к другому.
Доказательство. Воспользуемся тем, что определитель произведения матриц равен произведению определителей:
Поскольку определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса, то можно говорить об определителе линейного оператора. Будем называть линейный оператор вырожденным, если его определитель равен нулю, и невырожденным в противном случае.
13.5. Операции над линейными отображениями. Пусть и
- два линейных отображения. Назовем суммой этих отображений отображение
, определяемое равенством. Для краткости будем
писать. Легко проверить, что отображение является линейным. Матрица этого отображения равна сумме матриц
и
.
Можно определить произведение линейного отображения на число
как отображение, определяемое равенством. Отображение является, очевидно, линейным, и его матрица получается из матрицы
умножением на число
.
Добавим еще, что нулевое отображение является линейным. Все вышесказанное означает, что множество всех линейных отображений образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство
.
Задача. Найдите размерность пространства и укажите какой-нибудь его базис. (В частности, найдите размерность пространства всех линейных операторов, действующих на
-мерном векторном пространстве)
Рассмотрим теперь множество всех линейных операторов, действующих на конечномерном пространстве . Как и для произвольных линейных отображений, для линейных операторов определены операции сложения и умножения на число. Кроме этого, можно ввести операцию умножения линейных операторов.
Определение. Назовем произведением линейных операторов оператор, действие которого определено равенством
Зафиксировав базис в пространстве , мы получим матрицы операторов
и
. Пусть
- столбец координат вектора
. Тогда
- столбец координат вектора,
- столбец вектора. Значит,
.
Вообще говоря, умножение операторов, как и умножение матриц, некоммутативно. Но умножение операторов (как и умножение матриц) ассоциативно:
Кроме того, справедлив закон дистрибутивности умножения относительно сложения операторов (и матриц):
Для его доказательства достаточно проверить его выполнение для матриц. Пусть . Тогда, обозначив через
матрицу
, через
матрицу
, через
матрицу
, получим:
.
Выделим в тождественный оператор, действующий по формуле для любого . Он имеет единичную матрицу в любом базисе.
Произведение будем обозначать. Аналогично определим оператор
для всех . Нулевую степень оператора будем считать равной. Тогда для любого многочлена
можно определить
Заметим, что операторы и коммутируют. Действительно, в силу линейности оператора
Отсюда можно сделать вывод, что для любых многочленов и