Методы упрощенного вычисления статистических характеристик распределения

Если x_i — двух- и трехзначные числа, то вычисление величин , σ, А и Е значительно упрощается благодаря применению специального приема. Середины интервалов статистического распределения выражаются в условных единицах t, в которых и ведутся все вычисления. Результаты расчетов переводятся в исходные величины. Величина t_i рассчитывается по формуле

(4.1)

где а — середина центральной градации, т. е. той градации, в которую по предварительной оценке входит средняя величина; b —величина градации.

Статистические характеристики величины х связаны с аналогичными характеристиками t следующими соотношениями:

(4.2)

(4.3)

A_x=A_t (4.4)

E_x=E_t (4.5)

(4.6)

Таблица 4.1

Рабочая таблица для вычисления основных характеристик распределения

методом моментов

Исходные данные	Рассчитанные величины
Интервал, м/с	Середина интервала xi	Число случаев mi	ti	timi	(timi)2	(timi)3	(timi)4
1,5—4,5			-3	-18		-162
4,5—7,5			-2	-102		-408
7,5‑‑10,5			-1	-66		-66
10,5—13,5
13,5—16,5
16,5—19,5							1 168
19,5—22,5							3 888
22,5—25,5						2 688	10 752
25,5—28,5						2 500	12 500
28,5—31,5						4 336
31,5‑‑34,5						3 087	21 649
34,5—37,5						2 560	20 430
37,5—40,5							26 244
40,5—43,5						2 000	20 000
Σ							145 317

Приведем примеры расчета статистических характеристик одномерного и двумерного распределений. В табл. 4.1 содержится распределение скорости ветра на высоте I км, по которому вычисляются статистические характеристики.

В нашем примере а = 12 м/с, b = 3 м/с. Определим статистические характеристики в условных единицах:

Тогда,

=3·1.38+12=16.15;

Σ=3·2.47=7.41;

A_x =0.78;

E_x =0.44.

В случае двумерного распределения вводятся две вспомогательные величины t_x и t_y для двух компонент двумерной величины.

Характеристики для х (, σ_x, A_х, Е_х) и у (, σ_у, A_у, E_у) определяются способом, описанным выше. Коэффициент корреляции r_ху равен коэффициенту корреляции между вспомогательными переменными t_x и t_y, т.ее r_xy =

В табл. 4.2 представлено двумерное распределение температуры воздуха в Ленинграде и Кронштадте. В таблице цифры, выделенные курсивом, представляют собой частоты двумерного распределения. Полужирными линейками выделены графа и строка центральных градаций. Середины градаций температуры воздуха как Ленинграда (х), так и Кронштадта (у), выражены в условных единицах t_x и t_y;

где а и с— середины центральных градаций для х и у, b и d- значения градаций для х и у; а = 17,55, с = 16,55, b = d = l.

Таблица 4.2

Поскольку формула коэффициента корреляции для t_x и t_y может быть записана в виде

(4.8)

(4.9)

то для расчета коэффициента корреляции необходимо, прежде всего, вычислить величину t_xt_y. Остальные характеристики вычисляются так, как было показано выше.

Вычисления величины начинаются с расчета произведений . для каждой клетки таблицы, в которой представлены значения частот m_ij. Значения произведения выделены в табл. 4.2 курсивом. Полужирными линейками, выделяющими графу и строку центральных градаций, таблица делится на четыре четверти. В I и IV четвертях произведения положительны, во II и III четвертях — отрицательны.

Схема дальнейших вычислений показана в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Число случаев t_x t_y

txty	I + IV	II + Ш	(I+ IV)-(II+ III)	txty [(I + IV)-(II + III)]
		—
		—
		__
		—
		—
		­_
		—
		—
		-
	I	-
Σ

Одномерные характеристики по t_x и t_y равны

Тогда с учетом (4.8) получим

Если вычисления выполняются на ЭВМ и в распоряжении климатолога имеются исходные ряды наблюдений, то для расчета используются формулы (4.8) и (4.9).