Спектральная плотность

Наряду с корреляционной функцией для статистического описания стационарных случайных процессов используют спектраль­ную плотность . Так называют функцию частоты , являю­щуюся обратным интегральным преобразованием Фурье от корре­ляционной функции случайного процесса x(t):

В свою очередь, корреляционная функция процесса x(t) выра­жается через его спектральную плотность как прямое интеграль­ное преобразование Фурье:

Полагая в (1.56) , получаем выражение для дисперсии D_x стационарного случайного процесса x(t) через его спектральную плотность:

Если в (1.55) и (1.56) перейти к тригонометрической форме представления и , то получим

При описании стационарных случайных процессов вместо может задаваться спектральная плотность, определяемая для поло­жительных частот:

В этом случае корреляционная функция процесса должна вычис­ляться по известной спектральной плотности с помощью со­отношения

а дисперсия D_x определяется с помощью формулы

Последнее выражение позволяет дать физическую интерпрета­цию спектральной плотности : она характеризует плотность распределения дисперсии стационарного случайного процесса по частотам непрерывного спектра гармонического разложения этого процесса.

Рассмотрим два примера определения спектральных плотностей стационарных случайных процессов по их корреляционным функ­циям.

Белый шум. Для белого шума , поэтому из (1.59) находим, учитывая свойство -функции,

Как видим, спектральная плотность белого шума остается по­стоянной на бесконечном интервале частот. Это указывает на физи­ческую нереализуемость такого шума, поскольку для его реализа­ции потребовалась бы бесконечно большая энергия источника тако­го шума. Равномерное распределение дисперсии на бесконечном интервале частот может также использоваться в качестве иного определения белого шума. Спектр солнечного света в оптическом диапазоне близок к равномерному. Учитывая эту аналогию, случай­ный процесс с равномерной спектральной плотностью называют бе­лым шумом. Все другие случайные процессы, у которых функция.S'_x(co) меняется по частоте, можно называть «окрашенными» шума­ми. На практике в качестве белого рассматривают любой окрашен­ный шум, спектральная плотность которого остается постоянной в пределах полосы пропускания системы, на которую этот шум дей­ствует.

Экспоненциально коррелированный процесс. Случайный про­цесс с корреляционной функцией вида

называют экспоненциально корреляционным. Спектральную плот-кость такого процесса можно найти с помощью формулы (1.55)

СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ

При исследовании управляемого движения летательных аппаратов некоторые факторы, как, например, плотность, темпера­тура, турбулентность в реальной (не стандартной) атмосфере, изме­няются случайно в зависимости от координат рассматриваемой точ­ки пространства и времени t.

Случайные факторы, аргументами которых являются векторы, называют случайными полями.

Если в состав компонент вектора аргументов поля входят только координаты пространства, то такое случайное поле называют про­странственным. Если же в состав аргументов поля входит также и время, то случайное поле называют пространственно-временным.

Случайные поля бывают скалярными и векторными. Плотность воздуха в атмосфере р(х, у, z, t) и его температура Т(х, у, z, t) — скалярные пространственно-временные случайные поля. Турбулент­ность атмосферы w(x, у, z, t) есть векторное пространственно-вре­менное случайное поле, поскольку скорость порывов ветра в турбу­лентной атмосфере да— это вектор, характеризуемый тремя состав­ляющими w_x, w_v, w_z.