Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2,…m,…n, а вероятность появления таких значений определяется соотношением:

Р(m) = , (2.42)

где -некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона.

Распределению Пуассона подчиняется количество случайных событий, которые появляются в фиксированные промежутки времени или в фиксированной области пространства, например, количество несоответствий в выборке или количество несоответствий, приходящихся на единицу продукции.

При <1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m, а при >1 значение Р(m) с ростом m проходит через максимум вблизи . Особенностью распределения Пуассона является равенство дисперсии математическому ожиданию М[Х] = .

Эта особенность распределения Пуассона позволяет на практике утверждать, что экспериментально полученное распределение случайной величины подчинено распределению Пуассона, если выборочные значения математического ожидания и дисперсии примерно равны.

Для вычисления распределения Пуассона можно пользоваться следующими рекуррентными соотношениями [71,87]:

Р(m + 1) = Р(m) , Р(m – 1) = Р(m) (2.43)

Распределение Пуассона играет важную роль в статистических методах обеспечения качества, поскольку с его помощью можно аппроксимировать гипергеометрическое и биномиальное распределения. Такая аппроксимация допустима, когда , и при условии, что qn имеет конечный предел и q<0,1.

Таким образом, в статистических методах обеспечения качества гипергеометрический закон применим для выборок любого объема n и любого уровня несоответствий q, а биномиальный закон и закон Пуассона являются его частными случаями соответственно при условии, если <0,1 и .