double arrow

Исчисление высказываний


Символы, формулы, аксиомы исчисления высказываний. Правила вывода

Рассмотрим формальную аксиоматическую систему, в некотором смысле адекватную алгебре высказываний. Назовем эту систему исчислением высказываний.

Чтобы построить исчисление, нужно определить алфавит исчисления, понятие формулы, класс формул, называемых аксиомами, правила вывода данного исчисления.

Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

Большие латинские буквы А, В, С, ... X, Y, Z, ..., которые назовем переменными высказываниями.

Символы операций исчисления Ù, Ú, ®, ¾ (знак конъюнкции, дизъюнкции, следования и отрицания).

Скобки ( ).

Других символов система исчисления высказываний не содержит.

Формулой в исчислении высказываний является некоторая последовательность символов. Но не всякая последовательность символов есть формула. Например, последовательности А→В (С→) и (А В) не являются формулами. Определение формулы в исчислении высказываний задается следующим образом:

1. Всякое переменное высказывание есть формула.

2. Если a, b есть формулы, то выражения вида (aÙb), , , (aÚb), (a®b) также являются формулами.

Зададим в исчислении высказываний класс исходных истинных формул-аксиом.

I. 1. А®(В®А);
  2. (А® (В®С))®((А®В)®(А®С);
II. 1. АÙВ®А;
  2. АÙВ®В;
  3. (А®В)®((А®С)®(А®ВÙС));
III. 1. А®АÚВ;
  2. В®АÚВ;
  3. (А®С)®((В®С)(АÚВ®С)).
IV. 1. ;
  2. ;
  3. .

Правила вывода позволяют из данной системы аксиом получать другие истинные формулы исчисления высказываний. Назовем формулу исчисления высказываний ложной, если ее отрицание истинно. Будем обозначать истинные формулы буквой R, ложные – F.

К основным правилам вывода относятся два:

1) Правило заключения.

Если a и (a®b) – истинные формулы, то b также истинна. Это предложение можно записать в виде

.

2) Правило подстановки

Пусть некоторая формула a содержит переменное высказывание А. Тогда, заменив высказывание А всюду, где оно встречается, любой формулой b, получим истинную формулу. Это предложение записывается в виде .

Формула называется выводимой в исчислении высказываний, если ее можно получить, применяя правила вывода к аксиомам исчисления высказываний. Утверждение, что формула b выводима, записывают так:

+b.

Процесс получения формул из аксиом исчисления высказываний называется формальным выводом. Формальный вывод состоит из указания того, какие правила, в каком порядке и к каким формулам применяется для выведения данной формулы.

Упражнение 2.3.3

Докажем, что выводима формула А®А, т.е. А®А.

1. Запишем аксиому 2 из группы I.

(А® (В®С))®((А®В)®(А®С).

2. Применим к ней правило подстановки , т.е.

.

3. Заметим, что a есть истинная формула, как аксиома из группы I, т.е. имеем истинные формулы a и a®b. Применим правило заключения и получим (А®В)®(А®А).

4. Применим правило подстановки к полученной формуле, заменив высказывание В на :

.

5. Но , есть аксиома 2 из группы IV. Применим к полученной формуле правило заключения , т.е. -А®А.

Говорят, что формула b выводима из формул a1, a2, ..., an, если формулу b можно вывести путем правила заключения, приняв за исходные формулы a1, a2, ..., an и все истинные в исчислении высказываний формулы. Выводимость формулы b из формул a1, a2, ..., an записывают в виде a1, a2, ..., an, b.

Теорема дедукции

Если формула b выводима из формул a1, a2, ..., an, то выводимой является формула a1®(a2®(...(an®b)...)), т.е.

.

Теорема дедукции дает возможность установить выводимость различных формул исчисления высказываний более простым путем, чем непосредственный вывод этих формул из аксиом с помощью правил вывода. С помощью теоремы дедукции выводятся основные правила исчисления высказываний:

1. Правило силлогизма. Если формулы (a®b) и (b®g) истинны, то формула (a®g), т.е.

;

2. Правило перестановки посылок. Если формула (a® (b®g)) истинна, то истинной является формула (b® (a®g)), т.е. ;

3. Правило соединения посылок. Если истинной является формула (a®(b®g)), то истинной будет формула (aÙb®g), т.е. .

Проблемы непротиворечивости, полноты,
независимости аксиом исчисления высказываний

Используем алгебру высказываний как некоторую модель исчисления высказываний. Формулы исчисления высказываний будем трактовать как формулы алгебры высказываний. Для этого все буквы, входящие в алфавит исчисления высказываний, будем считать переменными высказываниями в содержательном смысле, т.е. переменными, принимающими значения И и Л. Символы алфавита Ù, Ú, ®, ¾, - будем понимать как логические связки алгебры высказываний.

При этом справедлива следующая теорема.

Все аксиомы исчисления высказываний есть тождественно истинные формулы алгебры высказываний. Все формулы, выводимые из аксиом исчисления высказываний, есть тождественно истинные формулы алгебры высказываний.

Доказательство первой части теоремы можно провести непосредственной проверкой.

В справедливости второй части теоремы можно убедиться, доказав, что, применяя правило заключения и правило подстановки к тождественно истинной формуле алгебры высказываний, получаем тождественно истинную формулу. Итак, всякая выводимая в исчислении высказываний формула есть тождественно истинная формула алгебры высказываний.

При рассмотрении любой формальной логической системы, в том числе исчисления высказываний, возникает три проблемы: непротиворечивость, полнота, независимость системы аксиом исчисления.

Логическое исчисление считается непротиворечивым, если в нем не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Проблема непротиворечивости состоит в том, что следует выяснить, является данное исчисление непротиворечивым.

Если в исчислении можно вывести некоторую формулу a и ее отрицание , то такое исчисление будет противоречивым. Если логическое исчисление противоречиво, в нем будет выводима любая формула. Такое исчисление не представляет ценности, т.к. оно не способно отображать в себе различие между истиной и ложью.

Для доказательства непротиворечивости логического исчисления достаточно найти в нем хотя бы одну невыводимую формулу. В исчислении высказываний проблема непротиворечивости решается так.

Теорема I. Исчисление высказываний непротиворечиво.

Справедливость этого утверждения следует из предыдущей теоремы. В самом деле, пусть a – некоторая выводимая в исчислении высказываний формула. Следовательно, она тождественно истинна, если ее рассматривать как содержательную формулу алгебры высказываний. Тогда – тождественно ложна, т.е. не выводима при всех значениях входящих в нее переменных. Следовательно, a и не могут быть вместе выводимыми в исчислении высказываний.

Итак, любая выводимая формула в исчислении высказываний является тождественно истинной, если эту формулу исчисления высказываний рассматривать как содержательную формулу алгебры высказываний. Возникает обратная задача.

Будет ли любая тождественно истинная формула алгебры высказываний выводима из аксиом исчисления высказываний.

Эта задача представляет собой проблему полноты исчисления высказываний в широком смысле.

Для любой логической системы определение полноты в широком смысле слова можно сформулировать следующим образом: логическое исчисление называется полным, если всякую истинную в содержательном смысле формулу можно вывести по правилам исчисления из аксиом исчисления.

Для исчисления высказываний проблема полноты решается положительно.

Теорема II. Система исчисления высказываний является полной.

Не менее важным является определение полноты логической системы в узком смысле слова. Логическое исчисление называется полным в узком смысле слова, если добавление к системе аксиом некоторой невыводимой в этом исчислении формулы делает исчисление противоречивым. Исчисление высказываний является полным также в узком смысле слова.

Для любой логической системы возникает проблема независимости аксиом данного исчисления. Зададимся вопросом, можно ли какую-либо аксиому исчисления вывести из остальных аксиом с помощью правил вывода данной системы. Если это возможно, то аксиому, выводимую из других аксиом, можно вычеркнуть из списка аксиом данного исчисления. Аксиома, невыводимая из остальных аксиом, называется независимой из этих аксиом. Система аксиом, в которой ни одна аксиома не выводима из остальных, называется независимой системой аксиом.

Эта проблема для исчислений решается положительно.

Теорема III. Система аксиом исчисления высказываний независима.

Проблема независимости системы аксиом логического исчисления является весьма важной математической проблемой, приводящей иногда к вопросу о замене какой-либо аксиомы ее отрицанием. В качестве примера можно привести вопрос о независимости пятого постулата Евклида в системе аксиом геометрии, вопрос о независимости аксиомы Цермело в системе аксиом теории множеств. Вопросы эти имели большое значение в развитии математики.

Логика предикатов

Для определения понятия предиката рассмотрим следующие примеры.

Примеры.

1. Пусть N – множество натуральных чисел, и буквой P обозначено свойство натурального числа быть простым. Если x представляет собой произвольный элемент из N, тогда выражение «натуральное число x является простым», которое можно записать в виде P(x), уже не является высказыванием, т.к. значение истинности данного утверждения зависит от x. По существу P(x) означает переменное (неопределенное) высказывание, которое становится определенным, когда x заменено определенным элементом из N. Например, P(3) = 1, P(4) = 0. Иначе говоря, P(x) представляет собой функцию, определенную на множестве натуральных чисел и принимающую только два значения: 0 и 1.

2. Пусть Z – множество целых чисел и P – свойство пары чисел иметь одинаковый знак. Тогда P(x,y) будет означать: «целые числа x и y имеют одинаковый знак». Это неопределенное высказывание становится определенным, если x и y заменить конкретными числами. Например, P(2,3)=1, P(-1,5)=0. Неопределенное высказывание P(x,y) представляет собой функцию двух переменных.

3. Пусть A и B – множество точек, C – множество прямых на евклидовой плоскости, а P(a,b,c) обозначает: «прямая c проходит через точки a и b». В этом примере мы имеем дело с функцией трех переменных, причем a и b принимают значения из множества точек, а c принимает значения из множества прямых евклидовой плоскости.

Определение 1. Предикатом называется функция, отображающая множество произвольной природы во множество {0,1}, или (ложно, истинно).

Обратимся теперь к определению предиката в общем случае.

Определение 2. Пусть N={N1,N2,N3,…,Nn} – конечный набор множеств. Всякая функция P(X1,…,Xn), ставящая в соответствие каждому набору из n элементов {a1,a2,…,an), где aiÎNi, какой-либо из элементов булевой алгебры {0,1} называется n-местным предикатом на N. Множество Ni называется предметной областью для переменной xi. Переменные x1,…,xn называются предметными переменными. Некоторые из множества Ni могут совпадать.

Если при отображении P образом набора (a1,a2,…an) является единица, то записывают.

P(a1,…,an)=1

и говорят, что значение предиката P для набора (a1,…,an) является истинным. Если же образом (a1,…,an) является нуль, то записывают

P(a1,…,an)=0

и говорят, что значение предиката P для набора (a1,…,an) является ложным.

n – местный предикат при n = 1 называется унарным, при
n = 2 – бинарным и при n=3 тернарным. Для общности введем еще понятие 0-местного предиката, а именно, 0-местным предикатом называется любе истинное или ложное высказывание.

Поскольку предикаты принимают значения из (0,1), то над ними можно производить все логические операции, рассматриваемые нами в алгебре высказываний (-, Ù, Ú, ®, «), сохраняя за ними те же определения. Кроме операций алгебры высказываний, мы будем употреблять еще две новые операции, которые связаны с особенностями предикатов и выражают собой утверждения всеобщности и существования.

Кванторы

Пусть P(x) – одноместный предикат, заданный на некотором множестве M. Если переменная x обозначает любой элемент из множества M, то P(x) является неопределенным высказыванием.

Операция " ставит в соответствие неопределенному высказыванию P(x) высказывание "xP(x), которое читается так: «для любого x имеет место P(x)» и по определению является истинным тогда и только тогда, когда P(x) истинно для любого элемента xÎM. Переход от неопределенного высказывания P(x) к высказыванию "xP(x) называется операцией навешивания квантора общности по предметному переменному x.

Операция $ ставит в соответствие неопределенному высказыванию P(x) высказывание $xP(x), которое читается так: «существует такое x, что имеет место P(x)» и по определению является истинным тогда и только тогда, когда P(x) истинно хотя бы для одного элемента xÎM. Переход от неопределенного высказывания P(x) к высказыванию $xP(x) называется операцией навешивания квантора существования по предметному переменному x.

В первом случае мы говорим, что предметная переменная x связана в предикате P(x) квантором всеобщности, во втором случае – квантором существования.

Определим операции навешивания квантора для общего случая n-местного предиката P(x1,…,xn). Операции навешивания кванторов " и $ по переменному x1 (в общем случае по переменному xi, где I= ) ставит в соответствие предикату P(x1,…,xn) (n-1) – местные предикаты

"x1P(x1,…, xn) и $x1P(x1,…, xn)

соответственно.

Истинностные значения этих предикатов определяются для фиксированных наборов значений предметных переменных x2,…,xn следующим образом:

"x1P(x1,a2…,an)=

$x1P(x1,a2…,an)=

В общем случае, если k<n, то операцию навешивания квантора можно повторить k раз. Тогда переменные x1,…,xk в таком предикате будут связанными, а переменные xk+1,…,xn – свободными. При k=n предикат становится высказыванием.

Примеры.

Рассмотрим предикат Д(x1,x2) – «число x1 делится на число x2», определенный на множестве натуральных чисел. Тогда операция навешивания кванторов приводит к следующим утверждениям:

1. "x1Д(x1, x2) – «для любого x1 имеет место Д(x1,x2)», т.е. всякое x1 делится на x2. Этот предикат принимает значение истины только для х2=1.

2. $x1 Д(x1, x2) – «существует x1, которое делится на x2». Этот предикат принимает значение истины для любого значения x2.

3. "x1"x2Д(x1, x2) – «для всякого x1 и для всякого x2 имеет место делимость x1 на x2. Это высказывание является ложным.

4. $x1"x2Д(x1, x2) – «существует x1, которое делится на всякое x2» – ложное высказывание.

5. "x2$x1Д(x1, x2) – «для всякого x2 существует x1 такое, что x1 делится на x2» – истинное высказывание.


Сейчас читают про: