Алгебра высказываний

Алгебра высказываний (Алгебра Буля). Таблицы истинности.

Основным математическим аппаратом, используемым при анализе и синтезе дискретных элементов и устройств является алгебра логики (булева алгебра, алгебра Буля). В алгебре логики широко используется понятие “высказывание”.будем называть простое повествовательное положение, о котором можно сказать, что оно ложно или истинно, но не то и другое одновременно. Любое высказывание можно обозначить символом X и считать, что X=1, если высказывание истинно, а X=0, если высказывание ложно. Логическая (булева) переменная – такая переменная X, которая может принимать только два значения: X={0,1}. Из двух простых высказываний X1 и X2 можно образовать более сложные высказывания, используя операции “И”, “ИЛИ”, “НЕ”. Сложные высказывания также принимают значения “истинно” или “ложно”, т.е. 1 или 0. Смысл логических операций над простыми высказываниями X1 и X2 и значениями сложных высказываний можно представить в виде таблиц истинности: “ИЛИ”, “И”, “НЕ” соответственно.

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедлoжение, в oтнoшениикoтopoгo можно oднoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.

Предложения типа " в городе A более миллиона жителей ", " у него голубые глаза " не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний " Петров — врач ", " Петров — шахматист " при помощи связки " и " можно получить составное высказывание " Петров — врач и шахматист ".

При помощи связки " или " из этих же высказываний можно получить составное высказывание " Петров — врач или шахматист ", понимаемое в алгебре логики как " Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

В алгебре высказываний суждениям (высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные (заглавные буквы латинского алфавита). Рассмотрим два простых высказывания:

А - «Два умножить на два равно четырем».

В - «Два умножить на два равно десяти».

Высказывания, как уже говорилось ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует 1, ложному 0, в нашем случае первое высказывание истинно (А = 1), а второе ложно (В=0).

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Истинность полученных составных высказываний зависит от истинности входящих в него простых высказываний и использованных при преобразовании логических операциях.

Для образования новых высказываний наиболее часто используются логические операции, выражаемые словами «и», «или», «не».

Логическое умножение (конъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.

Операцию логического умножения (конъюнкцию) принято обозначать либо значками «Ù», «&», либо знаком умножения «*». Образуем составное высказывание С, которое получится в результате конъюнкции двух высказываний: С = А ÙВ.

Истинность такого высказывания задается специальной таблицей, таблицей истинности логического умножения:

А	В	АÙВ

Логическое сложение (дизъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате дизъюнкции, ложно тогда, когда одновременно ложны входящие в него простые высказывания.

Операцию логического сложения (дизъюнкцию) принято обозначать либо значком «Ú», либо знаком сложения «+». Образуем составное высказывание С, которое получится в результате дизъюнкции двух простых высказываний: С =AÚВ

Истинность такого высказывания задается специальной таблицей, таблицей истинности логического сложения:

А	В	АÚВ

Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Инверсия делает истинное высказывание ложным и наоборот.

Операцию логического отрицания (инверсию) над логическим высказыванием А принято обозначать . Образуем высказывание С, являющееся логическим отрицанием .

С =

Истинность такого высказывания задается специальной таблицей, таблицей истинности логического отрицания:

А

При преобразовании логических выражений определено следующее старшинство логических операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция (для изменения указанного порядка могут использоваться скобки).

Построим таблицу истинности для логического выражения /\:

А	В	/\

Построим теперь таблицу истинности для логического выражения :

А	В	АÚВ

Таблицы истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны: /\=

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс - логическое значение сигнала 1, нет импульса - значение 0.

Пример:

А	В
И	И	И	Л	Л
И	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	Л	И	Л

Самой «сильной» логической связкой является отрицание, затем идут связки конъюнкция, дизъюнкция, а самыми «слабыми» являются связки импликации и эквиваленции.

Таким образом, простые высказывания являются переменными, а более сложные высказывания – функциями. Причем как переменные, так и функции могут принимать только значения 0 или 1. Алгебра логики может быть определена как алгебра, содержащая 3 операции “И” (конъюнкция), “ИЛИ” (дизъюнкция), “НЕ”(отрицание) над множеством элементов, каждый из которых принимает два значения 0 или 1. Результаты выполнения операций над множеством элементов также принимают два значения 0 или 1.
Рассмотрим следующий пример. Допустим, принимается некоторое решение коллективом из 3-х лиц, которые обозначим a, b, c. Решение считается принятым, если “за” не менее 2-х человек. Процесс принятия решений может быть представлен следующей таблицей истинности.

Таблица истинности

Исходя из таблицы истинности, получим следующие функцию алгебры логики (ФАЛ), которая является сложным высказыванием и является математической моделью принятия решения: