Общая схема исследования функции и построения ее графика

12 13 14 15 16 17 18

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность (нечетность);

3) исследовать функцию на периодичность;

4) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика с координатными осями.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти у'(х);

2) используя необходимый признак существования экстремума найти точки, «подозрительные» на экстремум, т.е. точки в которых у'(х)=0 или у′(х) не существует;

3) нанести критические точки на область определения и найти знак производной во всех получившихся интервалах;

4) используя признаки монотонности определить характер монотонности функции на каждом интервале;

5) используя достаточный признак существования экстремума установить наличие экстремума и их характер;

6) вычислить значение функции в точках экстремума, если они есть.

III.Исследование графика функции по второй производной:

1) найти у" (х);

2) используя необходимый признак существования точек перегиба, найти точки «подозрительные» на перегиб, т.е. точки в которых у"(х)=0 или у"(х) не существует;

3) нанести полученные точки на область определения и найти знак второй производной в каждом из получившихся интервалов;

4) используя теорему о форме кривой установить характер выпуклости (вогнутости) графика функции на каждом промежутке;

5) используя достаточный признак существования точек перегиба установить их наличие;

6) вычислить значения функции в абсциссах точек перегиба.

IV. Исследовать поведение функции на границах области определения.

V. Исследовать кривую y=f(x) на наличие асимптот и указать область значений функции.

VI.Построить график функции.

Если исследование произведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить ошибки.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Элементарное исследование.

1) Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел: D(y)=R.

2),3) Данная функция является элементарной, поэтому непрерывна на всей области определения, асимптот не имеет, не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

4) Для определения точки пересечения исследуемой кривой с осью ОХ следует решить уравнение . Из-за отсутствия целочисленных корней этого уравнения его решение громоздко (хотя и может быть найдено по формулам Кардано). Для нахождения точки пересечения графика с осью ОY подставим в уравнение функции х =0, получим точку А(0;5).

2. Исследование по первой производной

Для нахождения интервалов возрастания (убывания) функции определим интервалы знакопостоянства ее первой производной (рис.2).

Корнями производной являются точки х₁ =-1 и х₂ =3 (критические точки).

Рис. 2

Промежутки знакопостоянства производной определяются методом интервалов. Данная функция возрастает на (-∞;-1) и (3;+∞) и убывает на

(-1;3). При переходе через точку х₁=-1 у′ меняет знак с «+» на «-», поэтому в этой точке функция имеет максимум . Значит, В(-1; ) – точка максимума. Так как при переходе через точку х₂ =3 у’ меняет знак с «-» на «+», то С (3;-4) – точка минимума.

3. Исследование по второй производной: у′′=2х-2

Рис.3

у′′= 0 при х =1 (точка «подозрительная» на перегиб)

Так как при переходе через точку х =1 у′′ меняет знак, то х =1 есть абсцисса точки перегиба графика. D (1; ) – точка перегиба.

Результаты исследования сведем в таблицу:

x	(−∞;−1)	−1	(−1;1)		(1;3)		(3;+∞)
y	возрастает выпукла	max	убывает выпукла	перегиб	убывает вогнута	min	возрастает вогнута
y′	+		−	−	−		+
y′′	−	−	−		+	+	+