Достаточные признаки существования экстремума

Из того факта,что , ещё не следует,что функция f(х) имеет экстремум при х= .

Из графика видно, что в точке х=0 экстремума нет, касательная пересекает кривую. Таким образом, не для всякого критического значения аргумента функция f(х) имеет место экстремум этой функции. Поэтому наряду с необходимым условием дадим достаточные условия экстремума в точке.

Теорема2. Пусть функция f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может самой точки .Если при переходе аргумента слева на право через точку производная меняет знак с + на -, то функция в этой точке имеет максимум; если знак меняется с – на +, то функция имеет минимум.

Замечание. Если для дифференцируемой функции её производная , но при переходе через это значение производная сохраняет постоянный знак, то при функция экстремума не имеет.

Правило1. Исследования функции на экстремум.

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции .

3) Найти критические точки.

4) Установить знак производной вблизи критических точек и определить характер экстремума.

5) Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

1) .

2)

3)

- не существует при .

x	(-∞; )		(; 1)		(1; +∞
yI	+		-		+
y	↑		↓		↑

4)

max min

1

Достаточные условия существования экстремума можно проверить и с помощью второй производной, если исследуемая функция дифференцируема не менее двух раз.

Теорема3. Если для дифференцируемой функции в некоторой точке её первая производная , а вторая производная существует и , то, если 1) , то - минимум функции ; 2) если , то - максимум функции .

Правило2. Исследование функции на экстремум.

1) Найти

2) Найти

3) Найти , при которых

4) Найти

5) Найти знак второй производной в критических точках.

Пример. Исследовать функцию на экстремум.

1)

2) ;

3) .

4)

5)