Аксиоматическое определение вероятности

Для количественного описания степени объективной возможности наступления того или иного наблюдаемого в эксперименте события вводится специальная числовая функция Р (А), называемая вероятностью события А.

Пусть F – поле событий для данного эксперимента. Вероятностью Р (А) называется числовая функция, определенная для всех А F и удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей):

1) Р (А) ≥ 0.

2) Р (Ω)=1.

3) Для любой конечной или бесконечной последовательности наблюдаемых событий таких, что Ø при ,

Так как событие есть множество, то вероятность является также функцией множества. Указанные аксиомы выделяют специальный класс числовых функций, являющихся вероятностными. В соответствии со смыслом этих аксиом вероятность есть неотрицательная, нормированная и аддитивная функция множеств, принадлежащих алгебре F.

Тройку {Ω, F, Р }, где F – алгебра подмножеств множества Ω, Р – числовая функция, удовлетворяющая аксиомам 1-3, называют вероятностным пространством случайного эксперимента.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Доказать, что если для некоторого эксперимента , то

Решение. Так как , то АВ = А, поэтому , причем оба слагаемых несовместны. В силу аксиомы аддитивности , а в силу аксиомы 1) Следовательно, .

Задачи.

Доказать справедливость следующих следствий из определения вероятности события:

2.172*. Р (Ø) = 0.

2.173. .

2.174*. .

2.175*. Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ) (формула сложения вероятностей).

2.176. .

2.177. .

2.178. Доказать, что, если А = В, то Р (А) = Р (В).

2.179*. Пусть А, В и С – три события из поля событий для данного эксперимента. Показать, что

2.180*. Пусть А и В – наблюдаемые события в эксперименте. Показать, что .

2.181. Доказать, что если , то Р (А - В) = Р (А) - Р (В).

2.182. Доказать, что если А и В –наблюдаемые события в эксперименте, то справедливо равенство .

2.183. Показать, что для любых наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедливо неравенство

Р (АВ + ВС + АС) (Р (А) + Р (В) + Р (С)).

2.184*. Показать, что для трех наблюдаемых в эксперименте событий А, В и С справедлива следующая формула сложения вероятностей

2.185*. Известно, что для данного эксперимента совместное наступление событий А и В с необходимостью влечет за собой наступление события С. Доказать, что .