Тема 2: «Элементы теории множеств. Множества и операции над ними»

Задание 1.

 

Тема 1: «Элементы логики».

1. Приведите примеры определения понятия через:

а) род и видовое отличие;

б) генетически;

в) индуктивно;

г) абстракцию.

2. Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями:

а) -3,895 < -3,744;

б) 0: 15 = 0;

в) 24: 0 = 0;

г) существуют целые чётные числа;

д) в любом параллелограмме диагонали конгруэнтны;

е) не любые три отрезка могут быть сторонами треугольника;

ж) у всякого натурального числа есть предшествующее;

з) 5 < 2;

и) 6³ ≠ 216;

к) Рига – столица Латвии;

л) объединением множеств А = { а, в, с } и В = { с, д } является множество С = { а, в, д };

м) 2³ > 3²;

н) 3,7 є N

3. Найдите значения истинности следующих высказываний и дайте соответствующие пояснения:

а) 15 кратно 3 и 12 кратно 3;

б) 5 ≥ 3; в) Х = 2 является корнем уравнения Х² = 9 или решение неравенства 2Х – 1 < 3.

в) Х = 2 является корнем уравнения Х² = 9 или решение неравенства 2Х – 1 < 3.

 

4. В каждой из следующих импликаций выделите условие и заключение. Сформулируйте импликации: противоположные, обратные и противоположные к обратной:

а) Если Петров рисовал несколькими цветными карандашами, то у Петрова получился разноцветный рисунок.

б) Если четырехугольник АВСД квадрат, то угол АВС равен 90⁰.

5. На множестве М = { -3, -2, -1, 0, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10,11,12, 13,14, 15 };

заданы предикаты: р(х): «число Х – простое натуральное число»;

q(х): «число Х делится на 3», τ (х): «число Х не делится на 5».

Найдите множество истинности предикатов:

а) р(х) и q(х);

б) q(х) и τ(х(;

в) не q(х) и τ(х);

г) q(х) или τ(х);

д) не р(х) или не q (х);

е) (р(х) или τ(х)) и q(х);

6. Запишите следующие выражения с помощью математических символов и найдите их значения:

а) разность числа 56 и суммы 23 и 4;

б) разность суммы 56 и 23 и числа 4;

в) сумма произведения 5 и 7 и разности 71 и 54;

г) частное суммы 62 и 2 и разности 35 и 3;

д) произведение частного числа 63 и 7 и суммы 4 и 8;

е) сумма частного числа 154 и 7 и разности чисел 31 и 9.

7. В выражении 112 – 40: 4 + 8 расставьте скобки так, чтобы его значение было равно: а) 110; б) 26; в) 6; г) 94.

8. Найти значения выражений:

а) х² – 3х + 5, при х = 2;

б) е + 5,004, при е = 0,1 и m = 2,6;

m² – 5

в) xy + 1, при х = 0,5 и y = -2.

x + y

9. Вставьте вместо многоточий слова: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно».

Объясните своё решение:

а) для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником …………., чтобы он был квадратом;

б) для того, чтобы четырехугольник был квадратом ……….., чтобы он был прямоугольником;

в) для того, чтобы четырехугольник был квадратом ……….., чтобы он был прямоугольником с равными сторонами.

10.Даны пары уравнений:

а) 5х – 3 = 2х + 6 и 9х – 3 = 0;

б) (х – 3) (х – 4) = 0 и х² – 7х + 12 = 0;

в) 2х – 5 = 3х + 18 и х + 14 = 0.

Какие из этих уравнений равносильны?

 

Контрольные вопросы:

1. Математические понятия, предложения, доказательства.

2. Родо- видовые отношения между понятиями: определения понятия; явные и неявные определения.

3. Высказывание, высказывательная форма. Логическое следование и равносильность высказывательных форм.

4. Теорема, виды теорем, связанных с данной.

5. Дедуктивные и индуктивные умозаключения.

6. Способы доказательства в математике

Задание 2.

Тема 2: «Элементы теории множеств. Множества и операции над ними».

1. Запишите множество букв в словах «грамм», «мама», «торт», «кино».

2. Множества заданы характеристическим свойством. Задайте их перечислением элементов, если это возможно;

а) { x / x є Z, 0<x<4};

б) { x / x є N, 0 ≤ х ≥ 4 };

в) { x / x є R, 0 ≤ х > 4 }.

3. Изобразите н а координатной прямой множества:

а) { x / x є N, 3 < x < 6 };

б) { x / x є Z, -3 ≤ x ≤ 6};

в) { x / x є R, х ≥ 3}.

4. Что называется объединением двух множеств? Привести три примера.

5. Найти объединение и пересечение множеств А и В:

а) А = { x / x є N, x < 3 }

B = { x / x є Z, -5 < x < 0 };

б) А = { х / х є Z, -1 ≤ х ≤ 4 },

B = { x / x є Z, x ≤ 0 }.

6. Найти разность множеств А и В, если:

а) А = { х / х є Q, -7≤ х ≤ 0 },

B = { x / x є Q, -4,5 ≤ x ≤ 3 };

б) А = { х / х є N, х ≤ 11},

В = { х / х є N, х < 6 }.

7. Найти дополнение множества А = { х /x є N, х < 12} до множества N.

8. Заштриховать, используя круги Эйлера, следующие множества:

1) А Ú B;

2) C \ A

3) А Ú В Ú C

4) С \ (А Ú В)

5) [ С \ (A Ú В) ] Ú (А Ù В)

Для выполнения каждого задания используйте новый рисунок, показанный вышe.

9. Даны множества: А = {-1,5}; В= {1,3}; С = {2,6}.

Найти:1) АÚ В Ú С

2) А Ù В Ù С

3) (А Ú В) Ù С

4) (А Ú С) Ù В

10. Даны множества: А = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; В = {1, 2, 3}; С = {2, 3, 4, 5, 6}

Найти 1, 2, 3, 4, 5 из задания 9 данной контрольной работы.

Контрольные вопросы

1. Понятие множества.

2. Способы задания множества.

3. Равные множества.

4. Подмножества.

5. Пересечение и объединение множеств.

6. Дополнение к подмножеству.

7. Разность множеств.

8. Декартово произведение множеств.

9. Классификация

Задание 3.