Вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по той области, которая получается при проецировании поверхности на одну из координатных плоскостей. Если поверхность однозначно проецируется на координатную плоскость и её уравнение можно представить в виде , то каждая элементарная часть проецируется в элементарную площадку и , где - аппликата единичного вектора, перпендикулярного касательной плоскости к поверхности в точке , причём . (См. занятие 3, часть 2)
Тогда .
При этом поверхностный интеграл вычисляется по формуле:
, (12.1)
где - уравнение поверхности G.
Если поверхность удобнее спроецировать на координатную плоскость , то
, (12.2) где - уравнение поверхности G.
И аналогично, при проецировании на имеем
, (12.3) где - уравнение поверхности G.
3 .Свойства поверхностного интеграла первого рода.
1) Свойство линейности:
2) Свойство аддитивности:
3) Теорема о среднем. Если непрерывна на поверхности G, то существует число ζ такое, что
|
|
4) Теорема об оценке. Если числа M и m - соответственно наибольшее и наименьшее значения функции на поверхности G, то верно неравенство:
5) Криволинейный интеграл от единичной функции равен площади поверхности:
. (12.4)
4.Некоторые приложения поверхностного интеграла 1-ого рода.
1) Масса материальной поверхности переменной плотности может быть найдена по формуле
. (12.5)
2)Координаты центра масс материальной поверхности :
(12.6)
3)Моменты инерции поверхности относительно осей координат:
(12.7)
4) Момент инерции поверхности относительно начала координат:
(12.8)