2017-11-01
4151
Пример 12.1. Найдём массу части плоскости 
, ограниченной координатными плоскостями, если плотность в каждой точке 
.
Решение. Построим заданную часть плоскости 
(см. рис. 12.1)..
Поверхность G однозначно проецируется на координатную плоскость XOY, поэтому для вычисления массы (12.5) применим формулу (12.1).
| Рисунок 5.1 |
где 
, 
.
Подставляем всё в подынтегральное выражение и вычисляем интеграл.
.
Ответ: 
.
Пример 12.2. Вычислим координаты центра масс части поверхности полусферы 
, вырезанной цилиндром 
, если плотность 
.
Решение. Построим заданные поверхности и выделим нужную часть полусферы (на рис. 12.2 она выделена синим цветом). Поверхность удобно проецируется на плоскость 
в область, ограниченную окружностью .
| Рисунок 12.2 |
где .
Вычислим частные производные.
.
Упростим подкоренное выражение и получим интеграл 
Выберем способ его вычисления. В данном случае удобнее перейти к полярным координатам и учесть симметрию относительно оси 
.
|
|
|
Составим повторный интеграл и вычислим его:
.
Далее, по формулам (12.6) вычисляем координаты центра масс. С учётом симметрии поверхности и функции плотности, без вычисления определяем, что ордината центра масс равна нулю. Для двух других координат составляем интегралы и вычисляем их.
.
.
Ответ: С 
.
Занятие 13. Понятие гладкой и кусочно-гладкой поверхности. Ориентированные поверхности и их ориентация. Нормаль к поверхности. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного ин-теграла. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода. ОЛ-1гл.6, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4§ 12.
Практика: ОЛ-6 №№ 2350, 2351 (№ 2351 решить двумя способами: 1) с помощью вычисления составных интегралов, 2) сведением к поверхностному интегралу 1-го рода) или: ОЛ-5 №№ 10.84, 85, 87, 94.
Домашнее задание к занятию 13:
ОЛ-6 № 2349 (решить двумя способами) или ОЛ-5 №№ 10.83, 86, 88.
