Где p(x), g(x) – функции одной переменной x

ГЛОССАРИЙ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором искомой неизвестной является функция, при этом уравнение содержит искомую функцию, ее аргументы и производные или дифференциалы до некоторого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка уравнение вида

F(x, y, y’,…y⁽ⁿ⁾ )=0.

Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной – см. Нормальная форма дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах – уравнение вида M(x,y)dx + N(x,y)dy =0, (1)

левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой функции f(x,y). Уравнение (1) можно представить в виде df(x,y) = 0.

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными - дифференциальное уравнение первого порядка вида f(x)dx + φ(y)dy = 0,

где f(x) и φ(y) – функции одной переменной.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными -уравнение первого порядкавида f(x)F(y)dx + φ(y)Ф(x)dy = 0,

где f(x) и Ф(x) – функции одной переменной от x, F(y) и φ(y) – функции от y.

Задача Коши - задача отыскания решения уравнения , удовлетворяющего условиям .

Интеграл дифференциального уравнения - решение, заданное в неявном виде Ф (x,y) = 0 (см. Решение дифференциального уравнения в неявном виде).

Интегральная кривая -кривая, соответствующая решению обыкновенного дифференциального уравнения (или системы обыкновенных дифференциальных уравнений).

Интегрирование дифференциального уравнения -процесс нахождения решения дифференциального уравнения.

Интегрируемым в квадратурном виде называется дифференциальное уравнение, решение которого выражается через элементарные функции или через интегралы от элементарных функций.

Ком­плексное решение однородного линейного уравнения

- комплексная функция от вещественной переменной у=u(х)+iv(х),

где u(х)и v(x)— вещественные функции от х,если она обращает уравнение в тождество.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка - уравнение вида y’+ p(x)y = g(x), где p(x) и g(x) – функции от x.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка - дифференциальное уравнение вида

y” + p(x)y’ + g(x)y = f(x) (1)

где p(x), g(x), f(x) – функции одной переменной x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка,если f(x) ≠ 0.

Линейное не однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка - уравнение вида

где p, g =const, f(x) – непрерывная на (a,b) функция.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка - уравнение вида

.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка - уравнение вида

,

коэффициенты которого а₁, а₂,..., а_п — постоянные веще­ственные числа, а правая часть f (х) непрерывна в некотором интер­вале (a, b).

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка -

дифференциальное уравнение вида

y” + p(x)y’ + g(x)y = 0,

где p(x), g(x) – функции одной переменной x.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка - уравнениевида .

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка называется, уравнение вида y’+ p(x)y =0.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка - уравнение вида

, где p, g =const.

Линейно независимыми на интервале (a,b) называются функции

определенные и непрерывные на этом интервале (а, b), если равенство

,

где α_k (k=1, 2,..., п) - постоянные числа, выполняется для всех х из (а, b ) только тогда, когда все α_k (k=1, 2,..., п) одновременно равны нулю. В противном случае функции называются линейно зависимыми.

 

Метод вариации произвольной постоянной – см. Метод Лагранжа.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) для уравнения первого порядка состоит в том, что решение неоднородного линейного уравнения ищется в том же виде, что и общее решение соответствующего однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной С берется некоторая непрерывно дифференцируемая функция от x: y = C(x)e ^- (1).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) для линейного неоднородного уравнения n-гопорядка

(1)

состоит в том, что общее решение уравнения (1) получается из общего решения

соответствующего однородного уравнения

заменой произвольных постоянных соответствующими функ­циями от х, т. е. решение уравнения (1) ищется в виде

, (2)

где С_k (х) -функции от х, которые нужно выбрать так, чтобы функция (2) была решением уравнения (1).

 

Начальные условия задачи Коши для уравнения первого порядка – пара чисел (x_0, y₀ ), входящих в условие задачи Коши.

Начальные условия задачи Коши для уравнения n-го порядка – набор n чисел , входящих в условие задачи Коши.

Нормальная система дифференциальных уравнений -система уравнений, разрешенных относительно производных от искомых функций

y₁’ = f₁ (x, y_{1, ….,} y_n ),

_{…………………………………..}

y_n’ = f_n (x, y_{1, ….,} y_n).

Нормальная форма дифференциального уравнения - запись обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка в виде , разрешенном относительно старшей производной.

Обыкновенным дифференциальным уравнениемназывается дифференциальное уравнение, в котором искомая неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной.

Область задания дифференциального уравнения I-го порядкавида т - объединение областей определения функций

f(x,y) и 1/ f(x,y), т. е. D = D _f(x,y) U D_{1/ f(x,y).}

Общее решение дифференциального уравнения - функция y = y(x;c), определенная в некоторой области изменения переменных x и c, которая удовлетворяет условиям:

1) функция y = y(x;c) – дифференцируема в области изменения переменных x и c, причем ее производная по переменной x является непрерывной функцией;

2) равенство y = y(x;c) однозначно разрешимо относительно c, т.е. для любой точки с координатами (x_0, y₀ ), принадлежащей области изменения переменных, можно найти значение c =φ (x_0, y₀ );

3) функция y = y(x;c) является решением дифференциального уравнения .

Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения– общее решение, заданное как неявная функция уравнением

Однородная функция степени n - функция f(x, y), для которой выполняется условие f(xt, yt) = tⁿf(x,y), где n – натуральное число.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка - уравнение вида M(x,y)dx + N(x,y)dy =0, где N(х,у) и M(х,у) – однородные функции одной степени n.

Особой точкой дифференциального уравнениявида называется такая точка, в которой функция f(x,y) не определена, но определена в ее окрестности.

Особое решение - решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Однородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется, уравнение вида y’+ p(x)y = 0.

Определитель Вронского (вронскиан) для функций y₁(x) и y₂(x) – определитель вида

.

Порядком дифференциального уравненияназывают порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решение дифференциального уравнения - функция, имеющая непрерывные производные до порядка, равного порядку уравнения, и обращающая это уравнение в тождество.

Решение дифференциального уравнения в неявном виде - функция y = y(x), являющаяся решением уравнения F(x, y, y’,…y⁽ⁿ⁾ )=0 и заданная неявно уравнением вида Ф (x,y) = 0 (см.. Интеграл уравнения).