Конспект лекции. 1. Понятие о разделе математики «математическая статистика»

ТЕМА XVIII - ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

План лекции (3 часа)

1. Понятие о разделе математики «математическая статистика».

2. Основные понятия математической статистики.

3. Статистическое распределение выборки дискретной случайной величины.

4. Статистическое распределение выборки непрерывной случайной величины.

5. Мода и медиана.

6. Статистические оценки параметров распределения.

7. Генеральная и выборочная средние.

8. Смещенные и несмещенные оценки параметров.

9. Генеральная и выборочная дисперсии.

10. Точечная и интервальная оценки неизвестного параметра

1.Цель каждой науки - познание общих объективных закономерностей, позволяющих оценить развитие явлений, выбрать пути дальнейших исследований. В основе научных познаний лежит наблюдение. Единичное наблюдение отражает свойства единичного объекта, но не выясняет общего закона. Для выяснения общих закономерностей нужны серии наблюдений. Явления окружающего мира связаны зависимостью, зависят от многих факторов. Все факторы при наблюдении явлений учесть невозможно, чаще учитывают лишь контролируемые факторы. Например, станок со временем теряет настройку, это ведет к ухудшению качества обработки детали (один фактор); инструмент тупится (второй фактор). Для определения времени для переналадки станка проводили наблюдения и выяснили, что качество деталей ухудшается после двух часов работы станка. Для корректного вывода о работе станка надо провести многократные наблюдения. Для обоснованных выводов встают вопросы об организации сбора сведений о работе станка, о числе опытов, об обработке результатов наблюдений. При изучении законов явлений фиксируются различные факторы, неконтролируемые факторы изменяются в различных наблюдениях, поэтому отмечаются отклонения от известных закономерностей. Наблюдаемые отклонения от закономерностей, как и отклонения, полученные под влиянием неучтенных факторов, являются случайными явлениями. Например, при измерении массы одного и того же объекта каждый раз получаем близкие, но различные значения, так как результат каждого взвешивания содержит случайную погрешность. При систематизации результатов измерений можно обнаружить определенную закономерность. Эта закономерность позволяет предвидеть в среднем результат серии измерений. Поэтому изучаются массовые случайные явления. Математическая статистика - это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей. На практике выводы о закономерностях опираются на ограниченное, часто небольшое, число измерений. Для обоснованных общих выводов о закономерностях привлекается теория вероятностей. Оценив неизвестные величины или зависимости между ними по полученным результатам наблюдений, исследователь выдвигает ряд гипотез о том, какой математической моделью можно описать изучаемую закономерность. Затем, используя статистические методы, можно выяснить, какую модель лучше использовать.

2.При изучении однородных объектов выясняется, что каждый из изучаемых однородных объектов обладает некоторым признаком: качественным или количественным. Например, детали, выпускаемые на заводе, обладают и качественным (стандартность детали), и количественным признаками (размер детали). Статистическая совокупность – это множество однородных объектов, обладающих одним и тем же характеристическим признаком. При изучении признака статистической совокупности иногда проводят сплошные обследования, но часто из-за большого числа объектов такое обследование невозможно. Тогда применяется выборочный метод: обследуются объекты, случайно отобранные из статистической совокупности. Генеральная совокупность - это статистическая совокупность, из которой выбираются объекты для исследования. Выборочная совокупность (выборка)- это множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем выборки – это число объектов выборки « n». Например, при изучении признака «отношение учащихся школ к спиртному» за генеральную совокупность можно считать учащихся всех школ России, это множество практически обследовать невозможно. Тогда из генеральной совокупности отбирается выборка: учащиеся одной из школ конкретного города, например, выборка объема n =100. Для объективной оценки исследуемого признака необходимо, чтобы выборка правильно представляла пропорции генеральной совокупности, для оценки этого привлекается теория вероятностей. Репрезентативная выборка - это выборка объектов из генеральной совокупности, при которой каждый объект имеет одинаковую вероятность включения в выборку.

3.Для изучения признака случайной величины формируется выборка объектов, проводятся наблюдения и оценка каждого объекта. Оценить численно объект – это означает, что в результате наблюдений с каждым объектом надо сопоставить некоторое число – варианту:, n – выборка, последовательность вариант (), записанных в возрастающем порядке - это вариационный ряд. Варианты – это наблюдаемые числовые значения признака:. Дискретный вариационный ряд – это последовательность наблюдаемых значений, записанных в возрастающем порядке. Частота варианты - это число одинаковых вариант:. Очевидно, (1). Относительная частота варианты - это отношение частоты варианты к объему выборки «n»:

(2).

Статистическое распределение выборки - это перечисление вариант и соответствующих им частот (или относительных частот) этих вариант. Статистическое распределение для дискретного вариационного ряда задается различными способами:

I. Задание статистического распределения в виде таблицы (табл.1):