Формула полной вероятности и формула Байеса

Теорема 1. Пусть полная группа событий из . Тогда для события имеет место формула, называемая формулой вероятности:

Доказательство. Так как и события и не пересекаются при , то

Пример 1. На продажу в магазин поступили однотипные изделия с двух заводов А и В. С завода А поступило 200 изделий, с завода В 800 изделий. При этом 50% изделий, доставленных с завода А, изготовлены в одном из цехов этого завода, 30% в другом и 20 % в третьем. Брак составляет соответственно 1,5%, 2% и 2,5%. Аналогично, 60% изделий, поступивших с завода В, изготовлено в одном цехе, а 40% - в другом. Брак составляет соответственно 1,5%, 2%. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие является дефектным?

Решение:

Обозначим {выбранное изделие принадлежит i- му цеху завода В}, i =1, 2, 3.

{выбранное изделие принадлежит j-му цеху завода В}, j=1, 2.

События , , ,,образуют полную группу.

Следовательно, ,

где А ={выбранное изделие является дефектным}. Найдем вероятности, входящие в данную формулу.

; ; ;

; .

; ; ;

; .

Следовательно .

Пример 2. Из колоды карт последовательно без возвращения вытаскивается 3 карты. Какова вероятность того, что 3-я карта будет тузом, если известно, что первая карта является тузом.

Обозначим {вторая карта туз}, {вторая карта не туз}.

Тогда .

; ; ; .

Следовательно, .

Теорема 2. Пусть образуют полную группу событий из . Тогда имеет место формула Байеса:

, i =1,..,k.

Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?

Обозначим {первый стрелок попадет в мишень }, {второй стрелок попадет в мишень}, А={в мишени будет обнаружена одна пробоина}.

Имеем, .