2014-01-25
710
Теорема 1. Пусть 
полная группа событий из 
. Тогда для 
события 
имеет место формула, называемая формулой вероятности:
.
Доказательство. Так как 
и события 
и 
не пересекаются при 
, то
.
Пример 1. На продажу в магазин поступили однотипные изделия с двух заводов А и В. С завода А поступило 200 изделий, с завода В 800 изделий. При этом 50% изделий, доставленных с завода А, изготовлены в одном из цехов этого завода, 30% в другом и 20 % в третьем. Брак составляет соответственно 1,5%, 2% и 2,5%. Аналогично, 60% изделий, поступивших с завода В, изготовлено в одном цехе, а 40% - в другом. Брак составляет соответственно 1,5%, 2%. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие является дефектным?
Решение:
Обозначим 
{выбранное изделие принадлежит i- му цеху завода В}, i =1, 2, 3.
{выбранное изделие принадлежит j-му цеху завода В}, j=1, 2.
События 
, 
, 
,
,
образуют полную группу.
Следовательно, 
,
где А ={выбранное изделие является дефектным}. Найдем вероятности, входящие в данную формулу.
; 
; 
;
; 
.
; 
; 
;
; 
.
Следовательно 
.
Пример 2. Из колоды карт последовательно без возвращения вытаскивается 3 карты. Какова вероятность того, что 3-я карта будет тузом, если известно, что первая карта является тузом.
Обозначим 
{вторая карта туз}, 
{вторая карта не туз}.
Тогда 
.
; 
; 
; 
.
Следовательно, 
.
Теорема 2. Пусть образуют полную группу событий из . Тогда имеет место формула Байеса:
, i =1,..,k.
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?
Обозначим {первый стрелок попадет в мишень }, {второй стрелок попадет в мишень}, А={в мишени будет обнаружена одна пробоина}.
Имеем, 
.
Так как 
, то 
Следовательно с учетом того, что 
и 
получаем 
; 
.
