2014-01-25
2626
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) называется уравнение вида:
где 
и 
некоторые действительные числа.
Уравнение 
левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (..), называется соответствующим однородным уравнением.
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка). Общее решение 
линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть сумма частного решения 
этого неоднородного уравнения и общего решения 
соответствующего ему однородного уравнения
Как находить рассматривалось в предыдущем пункте. Нахождение существенно зависит от вида правой части уравнения (..). Будем рассматривать ЛНДУ, у которого правая часть имеет вид:
1. 
или 2. 
где 
произвольные числа; 
и 
многочлены степени 
и 
соответственно.
Для этих двух случаев может быть найдено по методу неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем. По виду правой части ЛНДУ записывают ожидаемую форму частного решения в форме, соответствующей правой части уравнения с неопределенными коэффициентами. Затем подставляют эту форму частного решения в ЛНДУ и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
1. Пусть правая часть ЛНДУ представляет собой произведение показательной функции на многочлен: 
степень многочлена, 
постоянная величина. Если 
то 
Тогда частное решение этого уравнения имеет вид:
где 
кратность, с которой 
входит в число корней характеристического уравнения; 
многочлен степени с неопределенными коэффициентами. Очевидно, что 
может принимать одно из трех значений:
если не является корнем характеристического уравнения;
если однократный корень характеристического уравнения;
если двукратный корень характеристического уравнения.
Отметим, что если то в частном решении не будет сомножителя 
Пример. Найти общее решение уравнения 
Решение. По теореме о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка 
Значит, решение задачи состоит из двух действий – поиска и 
Найдем : характеристическое уравнение 
Найдем корни квадратного уравнения 
Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция 
Найдем : правая часть 
Следовательно, 
Отсюда, ожидаемая форма частного решения ЛНДУ имеет вид:
где 
неопределенные коэффициенты.
Найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение:
или 
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 
в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Подставим найденные значения в формулу частного решения 
. Тогда общее решение ЛНДУ равно 
Пример. Найти общее решение уравнения 
Решение. По теореме о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка Значит, решение задачи состоит из двух действий – поиска и
Найдем 
характеристическое уравнение 
Найдем корни квадратного уравнения 
Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция 
Найдем 
правая часть 
Следовательно, 
Отсюда, ожидаемая форма частного решения ЛНДУ имеет вид:
где 
неопределенные коэффициенты.
Найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение:
Разделим обе части уравнения на 
раскроем скобки и приведем подобные:
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Подставим найденные значения в формулу частного решения 
. Тогда общее решение ЛНДУ равно 
2. Пусть правая часть ЛНДУ представляет собой
где 
числа 
Тогда частное решение этого уравнения имеет вид:
где кратность, с которой чисто мнимое комплексное число
входит в число корней характеристического уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения 
Решение. По теореме о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка Значит, решение задачи состоит из двух действий – поиска и
Найдем : характеристическое уравнение 
Найдем корни квадратного уравнения 
Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция 
Найдем : правая часть 
Следовательно, 
и так как характеристическое уравнение не имеет комплексного корня 
Отсюда, ожидаемая форма частного решения ЛНДУ имеет вид:
где неопределенные коэффициенты.
Найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение:
Раскроем скобки и перегруппируем, собрав члены, содержащие 
и 
Приравняв коэффициенты при и 
в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Подставим найденные значения в формулу частного решения 
. Тогда общее решение ЛНДУ равно 
