2014-01-25
2205
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
(8.2)
Если это уравнение разрешено относительно 
, то это уравнение имеет вид: 
или 
Для дифференциального уравнения существует несколько видов решений: общее решение, частное решение и особое решение.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция 
зависящая от 
и от одной произвольной постоянной, и обращающая это уравнение в тождество.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякое решение 
, полученное из общего решения при фиксированном значении 
.
Задача Коши - задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии: 
при 
Tеорема 8.1. Если в уравнении функция 
и ее частная производная 
непрерывны в некоторой области D на плоскости 
содержащей некоторую точку 
то существует единственное решение этого уравнения 
удовлетворяющее условию при 
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: существует и при том единственная функция график которой проходит через точку 
.
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
где 
функции только от 
а 
функции только от 
называется уравнением с разделяющимися переменными (ДУсРП).
Для отыскания решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства и получить общее решение исходного уравнения:
Пример. Решить уравнение: 
Решение. Это ДУсРП, т.к. при 
и при 
стоят произведение функций, каждая из которых зависит либо только от либо только от 
Разделим обе части уравнения на произведение 
или 
или 
Однородные дифференциальные уравнения
Понятие однородного уравнения связано с однородными функциями.
Функция 
называется однородной функцией n -го порядка относительно переменных x и y, если при любом числа 
имеет место равенство: 
Пример: Выяснить, являются ли однородными функции:
а)
б)
в) 
г) 
Решение. а) Так как 
то данная функция однородная 1-го порядка.
б) Так как 
то данная функция однородная 3-го порядка.
в) Так как 
то данная функция однородная 0-го порядка.
г) Так как 
то данная функция неоднородная.
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка (ОДУ) называется уравнение вида: 
где 
однородные функции одинакового порядка
или
Дифференциальное уравнение вида 
называется однородным, если функция 
однородная нулевого порядка.
Решение ОДУ проводится путем введения новой переменной 
или 
что позволяет свести это уравнение к ДУсРП.
Пример. Решить уравнение 
Решение. Убедимся, что это ОДУ. Действительно,
а 
а 
Преобразуем исходное уравнение к виду: 
Введем новую переменную 
тогда 
Получим: 
разделим переменные
проинтегрируем
пусть 
общее решение ОДУ.
Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка (ЛДУ) называется уравнение, линейное (то есть первой степени) относительно y и 
вида:
(8. 5)
где 
и 
заданные функции от (или постоянные).
Особенность ЛДУ первого порядка – искомая функция у и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Решение ЛДУ сводится к решению двух ДУсРП подстановкой 
где 
функции от одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая определяется уравнением (…).
Пусть тогда 
Подставим в уравнение (…). Получим
Выберем функцию 
таковой, что выражение в скобках обратилось в нуль: 
. Это будет первое вспомогательное уравнение – ДУсРП относительно функции . Решая его, получим частное решение – 
(можем взять любое частное решение, например, при 
). Подставим 
в уравнение… получим второе вспомогательное уравнение –ДУсРП относительно функции 
или 
. Решая второе уравнение, находим общее решение в виде 
. Подставляя, таким образом найденные, функции и 
в формулу окончательно получаем решение ЛДУ: 
Пример. Найти общее решение уравнения 
Решение. Это ЛДУ, в котором 
. Будем искать решение в виде 
Подставляя 
и 
в исходное уравнение, получим:
Решаем первое вспомогательное уравнение 
получим
Подставляя найденную функцию 
получим второе вспомогательное уравнение 
. Таким образом, общее решение исходного ЛДУ имеет вид 
Уравнение Бернулли имеет вид: 
Оно отличается от ЛДУ тем, что в правую часть входит множитель функция 
в некоторой степени, и решается так же, как и ЛДУ подстановкой
