Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы

Пусть А - квадратная матрица. Матрица В называется обратной левой матрицей по отношению к матрице А, если

                                      

матрица С называется обратной правой по отношению к А, если

                                      .

Убедимся, что если матрицы В и C существуют, то они совпадают между собой. Действительно, это следует из сочетательного свойства произведения:

                                    

Таким образом, правые и левые обратные матрицы совпадают с одной и той же матрицей. Ее называют просто обратной матрицей и обозначают А^-1.

       Вычислить определитель данной матрицы. Если , то обратной матрицы не существует

Методы нахождения:

Метод Гаусса—Жордана(метод элементарных преобразований)

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

 

С помощью матрицы алгебраических дополнений

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A ⁻¹ и будет обратной. Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

 

 

Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.

Пусть в матрице А размерность m x n выбраны k строк и k столбцов, k<=m и n. Определитель матрицы, элементы которой стоят на пересечении этих строк и столбцов, называются минором порядка k матрицы А.

Пусть все миноры матрицы A порядков, больших r, равны нулю, и при этом существует отличный от нуля минор порядка r. Число r называется рангом матрицы A. Другими словам, рангом матрицы А называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы А.

 

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы: