2018-02-13
4183
Фундаментальная система решений (ф.с.р.).
Фундаментальной системой решений однородной системы из p линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.
Если обозначить линейно независимые решения однородной СЛАУ как X(1), X(2), …, X(n-r) (X(1), X(2), …, X(n-r) – это матрицы столбцы размерности n на 1), то общее решение этой однородной системы 
представляется в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами С1, С2, …, С(n-r), то есть,
Покажем процесс построения фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.
Выбираем базисный минор исходной системы линейных уравнений, исключаем все остальные уравнения из системы и переносим в правые части уравнений системы с противоположными знаками все слагаемые, содержащие свободные неизвестные переменные. Придадим свободным неизвестным переменным значения 1, 0, 0, …, 0 и вычислим основные неизвестные, решив полученную элементарную систему линейных уравнений любым способом, например, методом Крамера. Так будет получено X(1) - первое решение фундаментальной системы. Если придать свободным неизвестным значения 0, 1, 0, 0, …, 0 и вычислить при этом основные неизвестные, то получим X(2). И так далее. Если свободным неизвестным переменным придадим значения 0, 0, …, 0, 1 и вычислим основные неизвестные, то получим X(n-r). Так будет построена фундаментальная система решений однородной СЛАУ и может быть записано ее общее решение в виде
Для неоднородных систем линейных алгебраических уравнений общее решение представляется в виде 
, где - общее решение соответствующей однородной системы, а 
- частное решение исходной неоднородной СЛАУ, которое мы получаем, придав свободным неизвестным значения 0, 0, …, 0 и вычислив значения основных неизвестных.
