Скалярное произведение: определение, свойства, выражение в декартовых координатах, нахождение угла между векторами, нахождение проекции. Физический смысл скалярного произведения

Скалярным произведение двух векторов  называется число, равное произведению длин векторов  на косинус угла между ними.

Обозначается через (  или

 

Свойства скалярного произведения

 

                                                        

 

 

Векторное произведение: определение, свойства, выражение в декартовых координатах, физический смысл.

 

 

 

                                                                                                                 

Смешанное произведение: определение, свойства, выражение в декартовых координатах.

 

 

 

Уравнения прямой на плоскости (общее уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение в отрезках).

ВСЕ ВЕКТОРЫ ОБОЗНАЧЕНЫ ЖИРНЫМ ШРИФТОМ(a, b)

1. Уравнение прямой в общем виде:

Любая прямая на плоскости задается уравнением: Ax+By+C=0, где , любое уравнение указанного вида определяет некоторую прямую на плоскости.

Док-во: n (A, B),

,

Т.к M₀M (x-x₀, y-y₀), n (A, B) то при скалярно произведении получим:

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0(раскроем скобки)

Ax+By-Ax₀-By₀=0, где -Ax₀-By₀=С

Получаем: Ax+By+C=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 – уравнение прямой проходящей через точку M₀(x₀, y₀) перпендикулярно вектору n (A, B)

2. Каноническое уравнение прямой:

M₀ (x₀, x₀), M (x, y)

q (l, m) –направляющий вектор,  

Полученное уравнение и есть каноническое уравнение прямой

3. Параметрическое уравнение прямой:

Что такое l и m смотри в предыдущем пункте

Векторная форма параметрического уравнения:

4. Уравнение прямой в отрезках:

Ax+By+C=0

Ax+By=-C (поделили обе части на -C)

(обозначим делитель первого слагаемого за a, а второго за b и получим)

 

Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Нормальное уравнение прямой. Взаимное расположение прямых. Нахождение угла между прямыми.

Уравнение с угловым коэффициентом

By=-Ax-C

-A/B=k

-C/B=b

y=kx+b

 

 

Нормальное уравнение прямой:

n =1 – единичный вектор нормали

n (cosα, cosβ)

p (0, l)

Взаимное расположение:

L1: A1x + B1y + C1 = 0, n1(A1,B1)

L2: A2x + B2y + C2 = 0, n2(A2,B2)

L1=L2,

Бесконечно много решений системы.

 

Система и несовместна.

Система имеет единственное решение.

Нахождение угла между двумя прямыми:

cos(l1^l2) = |cos(n1 ^ n2)|=| n1 * n2 |/| n1 |*| n2 | =