Частотный критерий устойчивости Михайлова

Система 3-го порядка

Для системы 3-го порядка необходимо чтобы произведение средних членов было больше произведения крайних

Частотные критерии устойчивости: ( используются при высоком порядке хар. уравнения. Так как сложно определить знаки определителей Гурвица)

Сущность состоит в том что по виду частотных характеристик можно судить о устойчивости системы.

При изменении конец вектора Михайлова будет вычерчивать кривую, которую назовем Годографом Михайлова

П о поведению Годографа можно судить об устойчивости замкнутой АС.

Необходимое и достаточное условие устойчивости по Михайлову: Для устйочивости замкнутой АС необходимо и достаточно чтобы при изменении Годограф:

- начинался на положительной вещественной оси(на оси х справа от нуля)

- изменялся в положительном направлении(против часовой стрелки)

- охватывать n- квадратов (где n-порядок хар. уравнения- max степень в уравнении)

- уходить в бесконечность в n-м квадрате.

Годографы Михайлова для устойчивой замкнутой АС.	Годографы Михайлова для неустойчивой замкнутой АС.

Следствие из Критерия Михайлова:

1. Критерий чередуемости корней

Обозначим точки пересечения с осями через омега.

Частоты являются корнями вещественной и мнимой частей годографа михайлова

Для устойчивости замкнутой АС необходимо и достаточно чтобы корни вещественной и мнимой частей годографа чередовались

1. Частотный критерий устойчивости Найквиста в случае устойчивой разомкнутой АС.

При исследовании устойчивости считается по известной передаточной функции разомкнутой АС. Заменяем S на jи тем самым получаем комплексную передаточную функцию (КПФ). При изменении вектор КПФ будет вычерчивать кривую – годограф КПФ. По виду этой кривой для разомкнутой АС можно судить о устойчивости замкнутой АС.

Существует 3 случая исследования устойчивости по Найквисту:

1 случай: Разомкнутая АС устойчива

2 случай: Разомкнутая АС нейтрально устойчива (находится на границе устойчивости) и имеет в своем составе интегрирующих звеньев.

3 случай: Разомкнутая АС неустойчива и имеет m правых полюсов (m корней характеристического уравнения с положительными вещественными частями.

1 случай: Для устойчивости замкнутой АС. В случае устойчивой разомкнутой АС необходимо и достаточно, чтобы при изменении Годограф КПФ разомкнутой АС (АФХ разомкнутой АС) не должен охватывать критическую точку..

-штриховая линия на рис.

При исследовании устойчивости считается по известной передаточной функции разомкнутой АС. Заменяем S на jи тем самым получаем комплексную передаточную функцию (КПФ). При изменении вектор КПФ будет вычерчивать кривую – годограф КПФ. По виду этой кривой для разомкнутой АС можно судить о устойчивости замкнутой АС.

Существует 3 случая исследования устойчивости по Найквисту:

1 случай: Разомкнутая АС устойчива

2 случай: Разомкнутая АС нейтрально устойчива(на границе устойчивости) и имеет в своем составе интегрирующих звеньев.

3 случай: Разомкнутая АС неустойчива и имеет m правых полюсов (m корней характеристического уравнения с положительными вещественными частями.

2 случай: Нейтрально устойчивая АС

ПФ можно представить в виде

Т.к. годограф КПФ начинается в бесконечности трудно судить охватывает ли годограф КПФ разомкнутой АС критическую точку или нет. Для разрешения этого вопроса введем дугу бесконечного радиуса с угловой координатой омега

Полученную таким образом дугу назовем дополнением. Для устойчивости замкнутой АС в случае нейтрально устойчивой разомкнутой АС и имеющей интегрирующих звеньев необходимо и достаточно чтобы годограф КПФ разомкнутой АС вместе с дополнением не охватывал критическую точку.

При исследовании устойчивости считается по известной передаточной функции разомкнутой АС. Заменяем S на jи тем самым получаем комплексную передаточную функцию (КПФ). При изменении вектор КПФ будет вычерчивать кривую – годограф КПФ. По виду этой кривой для разомкнутой АС можно судить о устойчивости замкнутой АС.

Существует 3 случая исследования устойчивости по Найквисту:

1 случай: Разомкнутая АС устойчива

2 случай: Разомкнутая АС нейтрально устойчива(на границе устойчивости) и имеет в своем составе интегрирующих звеньев.

3 случай: Разомкнутая АС неустойчива и имеет m правых полюсов (m корней характеристического уравнения с положительными вещественными частями.

2 случай: Нейтрально устойчивая АС

В этом случае трудно судить охватывает ли годограф КПФ разомкнутой АС критическую точку или нет. Для разрешения этого вопроса введем бесконечного радиуса с угловой координатой омега

Полученную таким образом дугу назовем дополнением. Для устойчивости замкнутой АС в случае нейтрально устойчивой разомкнутой АС и имеющей интегрирующих звеньев необходимо и достаточно чтобы годограф КПФ разомкнутой АС вместе с дополнением не охватывал критическую точку.

3 случай: Разомкнутая АС неустойчива и имеет m правых полюсов (m корней характеристического уравнения с положительными вещественными частями.

В окрестности критической точки в этом случае получается сложная картина поведения годографа разомкнутой АС (петли самопересечения. В этом случае используется обобщенный критерий устойчивости Ципкина.

Переход годографа КПФ слева от критической точки снизу вверх обознчают «П-» и называют отрицательным переходом, сверху вниз-положительным переходом «П+». Для устойчивости замкнутой АС в случае неустойчивой разомкнутой АС и имеющей в своем составе m правых полюсов (m корней характеристического уравнения разомкнутой АС) необходимо и достаточно чтобы разность между положительным и отрицательным переходами была равна

Если годограф КПФ начинается на отрезке слева от критической точки то переход равен +-1/2. + если вверх,- если вниз идет.

:

Для устойч ивости Замкнутой АС в случае неустойчивой размокнутой АС необходимо и достаточно чтобы разность между числом увеличения ФЧХ и уменьшением ФЧХ на уровне -180 грудосов в области усиления (L>0) была равна m/2

Во время работы АС параметры АС изменяются (износ, старение системы). Поэтому необходимо обеспечить не только устойчивость, но и некоторый запас устойчивости, так как АС может находиться близко к границе устойчивости.

Запас устойчивости- степень удаленности АС от границ устойчивости. Запас устойчивости вводится с использованием критерий устойчивости.