Элементы математической статистики

Элементы математической статистики и ее приложения

Математическое обеспечение анализа проектных решений

Это математические модели, численные методы, алгоритмы выполнения проектных процедур.

На микроуровне математические модели – это дифференциальные уравнения в частных производных, например, уравнения математической физики. Объекты исследования – поля физических величин (например, в химическом синтезе – исследование процессов в жидких средах).

На макроуровне – системы алгебраических или дифференциальных уравнений, независимая переменная – только время. Модели процессов в устройствах, приборах.

Следующий уровень – функционально-логический, например, математический аппарат передаточных функций или математической логики.

Еще один уровень – системный – производственные предприятия и их объединения, вычислительные сети, социальные системы, математический аппарат теории массового обслуживания, сетей Петри.

Основные требования к математическим моделям:

- адекватность, в области адекватности – приемлемая точность. В пределах области адекватности погрешности модели находятся на допустимом уровне,

- экономичность (затраты машинного времени и памяти.

Формирование модели включает две процедуры:

- разработку моделей отдельных компонентов,

- формирование модели системы из моделей компонентов – может выполняться автоматически по алгоритмам, включенным в заранее разработанные программы анализа и пользователь описывает объект не в виде системы уравнений, а в виде списка элементов, эквивалентной схемы, эскиза или чертежа конструкции.

При проведении эксперимента многократно определяют некоторую величину Х, значения которой могут быть разными вследствие случайных отклонений в условиях эксперимента. Поэтому значения величины Х называют случайными. Множество измерений одной случайной величины называют генеральной совокупностью. На практике проводится конечное число измерений случайной величины, результаты этих измерений называют выборкой генеральной совокупности. Генеральную совокупность характеризуют математическим ожиданием (средним) – точным значением измеряемого параметра, не искаженным случайными ошибками. Вычисляют по формуле m=Sx_i/n.Чтобы оценить вероятность попадания случайной величины внутрь данного интервала, начало координат переносят в точку математического ожидания и далее используют «правило трех сигм». Единицей измерения интервала является сигма или среднеквадратическое отклонение.

s = s², s²= (S(x_i-m)²)/n. С точностью до долей процента случайная величина Х может находиться в пределах: m-3 s £ X £ m+3 s. Использование общепринятых статистических критериев и методов допустимо только в случае так называемого нормального распределения.

Вероятность того, что данный замер Х₁ окажется внутри заданного интервала называется доверительной вероятностью. Обозначается Р. Р = ±1 s = 0.68, Р = ±2 s = 0.95, Р = ±3 s = 0.99. Уровень значимости a = 1 - Р, то есть какова вероятность совершить ошибку, предполагая, что данный замер попадет внутрь заданного интервала.

Уровень надежности (95%) – это доверительный интервал среднего. Для нормального распределения коэффициент доверия t = 1,96 при уровне надежности 95%. Для малых выборок (менее 25-30 опытов, т.е. замеров величины Х или определения величины У) коэффициент доверия определяется по критерию Стьюдента или решается обратная задача, т.е. определяется минимальное число опытов.