double arrow

Алгоритм решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа

2

Прямое и обратное преобразования Лапласа

Решение линейных стационарных дифференциальных уравнений

Виды операторов

Основа математического обеспечения для решения задач конструирования систем управления

Постановка задачи

Принципы управления

1) Принцип разомкнутого управления:

u(t)
y(t)
УУ
g(t)
Объект

2) Принцип компенсации возмущения:

u(t)
y(t)
УУ
g(t)
Объект
 

3) Принцип обратной связи:

u(t)
y(t)
УУ
g(t)
Объект

По математическим моделям объекта управления и окружающей среды, критерию, оценивающему качество работы системы, сконструировать математическую модель управления устройством, такую чтобы эта мат. Модель могла бы быть реализована на какой-нибудь элементарной базе.

Под оператором в математике понимается правило, с помощью которого элемент одного функционального множества сопоставляется с элементами другого множества.

В теории управления под операторами понимаются правила, которые сопоставляют элементы одного функционального пространства элементам другого функционального пространства.

Оператор
x(t)
y(t)

1. Безынерционные – y(t) зависит от x(t) в тот же момент времени.

2. Инерционные - y(t) в каждый момент времени зависит от x(t) в тот же и предшествующие моменты времени.

– Линейное стационарное дифференциальное уравнение (линейные комбинации входа и выхода равны).

Если и , то такое уравнение – линейное не стационарное дифференциальное уравнение

– оператор преобразования Лапласа. Из линейного дифференциального уравнения получает алгебраическое уравнение.

Условия, накладываемые на функцию :

1. Функция должна быть тождественно равна нулю, в любой отрицательный момент времени:

2. Интеграл должен сходиться:

– обратное преобразование Лапласа.

f(t) F(s) f(t) F(s)
       
       
       
       
       

Равенство Парсеваля

Условия применения – интегралы функций должны сходиться:

Предельные соотношения:



Корни характеристического полинома называются полюсами. Корни числителя называются нулями.

Передаточная функция системы есть отношение изображения выхода системы к изображению входа при нулевых начальных условиях.

Предположим, что

Тогда

Если при ограниченном входе системы имеет ограниченный выход, то такая система обладает свойством устойчивости.

Система устойчива, если все полюсы лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один полюс лежит в правой полуплоскости, система будет неустойчивой.

Это объясняется видом функции – все полюса характеристического полинома находятся в степени экспоненты. Если хотя бы один из них имеет положительный знак (лежит в правой полуплоскости), то вся функция при будет стремиться к .

Если же все полюсы имеют отрицательный знак (лежат слева), то вся функция будет стремиться к некоторому установившемуся значению .

2

Сейчас читают про: