2014-02-05
3959
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
а) уравнение с разделенными переменными имеет вид 
.
Его можно рассматривать как равенство дифференциалов некоторых функций. В таком случае 
является решением уравнения;
б) если дифференциальное уравнение имеет вид 
, то оно называется уравнением с разделяющимися переменными (функции 
и 
- непрерывны). В таком уравнении достаточно разделить переменные, чтобы прийти к пункту а).
Получаем
,
откуда следует общее решение
Пример. 
Разделим переменные 
.
Интегрируя, получаем 
, откуда 
, и далее 
или 
- общий интеграл, так как решение получено в неявном виде.
Определение. Функция 
называется однородной порядка k, если для произвольного числа 
выполняется условие 
.
Примеры. Являются ли однородными следующие функции:
1. 
2. 
3. 
Отметим: если функция после замены x через αx и y через αy - не изменилась, то она является однородной порядка k=0.
4. 
- функция не является однородной.
Определение. Дифференциальное уравнение 
(13.8) называется однородным, если функция 
и 
являются однородными одинакового порядка.
Пусть функции и одинакового порядка k. Это означает, что 
и 
для любого 
. Рассмотрим выражение
Согласно (13.8) это означает: если дифференцированное уравнение является однородным, то после замены в нем x через 
и y через 
оно не изменяется. Этот вывод может служить критерием проверки дифференциального уравнения на однородность.
Можно использовать и дугой критерий. Пусть уравнение (13.8) однородное, и примем 
. Тогда
, отсюда 
Обозначим 
Функция 
является однородной нулевого порядка (k=0), а однородное дифференциальное уравнение (13.8) может быть записано в виде
или 
(13.9)
Покажем, что введение вспомогательной переменной 
позволяет свести однородное уравнение (13.8) (или 13.9) к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Очевидно, 
Перейдем в уравнении (13.8) к новой переменной z. Полагая 
запишем уравнение (13.8), как было показано выше, в виде
, так как 
, получаем
После преобразования имеем
Это уравнение с разделяющимися переменными, которое можно записать в виде
Его общее решение имеет вид
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
Функция 
- однородная нулевого порядка. Введем вспомогательную переменную 
(
). Данное уравнение примет вид 
, или 
.
После преобразования получаем уравнение 
с разделенными переменными. Проинтегрируем его. 
, откуда 
или 
. Возвращаясь к исходным переменным, запишем общее решение
или 
