double arrow

Метод фазовой плоскости



Метод фазовой плоскости в теорию автоматического регулирования был введен А. А. Андроновым. Сущность метода заключается в построении фазовых траекторий по дифференциальным уравнениям в системе коорди­нат: отклонение регулируемой величины х и скорость ее изменения y = dx/dt.

Это наиболее распространенный выбор координат фазовой плоскости. Вообще же можно использовать любые две переменные.

Процесс изменения траектории представляет собой движение изображаю­щей точки на плоскости. Начальные условия системы определяют первона­чальное положение изображающей точки на фазовой плоскости. Совокуп­ность фазовых траекторий в плоскости (х, у) представляет собой фазовый портрет.

Фазовые портреты различных процессов изображены на рис.10.4 – 10.8.

Рис.10.4 соответствует случаю периодических колебаний с постоянной частотой и амплитудой.

Рис.10.5 – затухающему, а рис.10.6 - колебательному расходящемуся процессу. Рис.10.7 – затухающим к нулю, а рис.10.8 - расходящимся апериодическим процессам.

Рис.10.4. Периодические колебания и ее фазовый портрет

Рис.10.5. Периодические затухающие колебания и ее фазовый портрет




Рис.10.6. Периодические расходящиеся колебания и ее фазовый портрет

На основании приведенных рисунков можно заключить, что любой периодический колебательный процесс с постоянной амплитудой и частотой изображается на фазовой плоскости в виде некоторого замкнутого контура – замкнутой фазовой траектории. Каждому периоду колебаний соответствует прохождение изображающей точкой всего контура.

Затухающий колебательный процесс изображается на фазовой плоскости в виде сходящейся, а расходящийся в виде расходящейся спиралевидной фазовой траектории.

Рис.10.7. Затухающие к нулю апериодические процессы и их фазовые портреты

Затухающему к нулю апериодическому процессу соответствует вливающаяся в начало координат фазовой плоскости фазовая траектория, а расходящемуся апериодическому процессу - уходящая от начала координат фазовая траектория.

Рис.10.8. Расходящиеся апериодические процессы и их фазовые портреты



Сейчас читают про: