Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [ a, +¥) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:

(*)

Тогда этот предел называют несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [ a, +¥) и обозначают .

В случае существования предела (*) говорят, что несобственный интеграл функции f(x) сходится на промежутке [ a, +¥).

Представим несобственный интеграл на промежутке [ a, +¥) в виде суммы определенного интеграла на отрезке [ a, b ] и несобственного на промежутке [ b, +¥): .

Интеграл функции f(x) сходится на промежутке [ a, +¥), если для любого числа ε>0 существует число в такое, что абсолютная величина второго интеграла будет меньше ε, т.е.

(**)

Тогда значение сходящегося несобственного интеграла на промежутке [ a, +¥) равно с точностью ε определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [ a, b ]:

В случае, когда вычисляют по одной из квадратурных формул, это ведет к увеличению погрешности. Тогда поступают следующим образом:

1) b выбирают настолько большим, чтобы имело место неравенство

2) определенный интеграл вычисляют по одной из квадратурных формул с точностью ε/2.

Таким образом, суммарная погрешность

Аппроксимация некоторых несобственных интегралов
определенными интегралами с точностью ε.

I. , a >0, p >1, C >0

Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие примет вид .

Потребуем , откуда получим , причем в качестве верхнего предела интегрирования удобно принять наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.

Примечание. Если потребовать точность ε/2, неравенство будет иметь вид: .

II. , λ>0, C >0.

Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие примет вид .

Потребовав , получим , причем в качестве верхнего предела интегрирования удобно принять наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.

Примечание. Если потребовать точность ε/2, неравенство будет иметь вид: .