2.1. Постановка задачи
Требуется найти решение системы линейных уравнений:
или в матричной форме: , где
По правилу Крамера система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля и значение каждого из неизвестных определяется следующим образом: , где – определитель матрицы, получаемой заме-
ной -го столбца матрицы столбцом правых частей .
Непосредственный расчет определителей для больших является очень трудоемким.
Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений распадаются на две большие группы: прямые методы и методы итераций.
Прямые методы всегда гарантируют получение решения, если оно существуют, однако, для больших требуется большое количество операций, и возникает опасность накопления погрешностей.
Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.
Норма матрицы является некоторой обобщенной оценкой значений элементов матрицы. Для её вычисления можно использовать следующие выражения:
|
|
,
, .
2.2. Метод простой итерации
Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений
(1)
с квадратной невырожденной матрицей привести к виду
, (2)
где – квадратная невырожденная матрица с элементами ,
– вектор-столбец неизвестных , – вектор-столбец с элементами , . Существуют различные способы приведения системы (1) к виду (2). Рассмотрим самый простой.
Представим систему в развернутом виде:
(3)
Из первого уравнения системы (3) выразим неизвестную :
из второго уравнения – неизвестную :
и т. д. В результате получим систему:
(4)
Матричная запись системы (4) имеет вид (2). На главной диагонали матрицы находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:
(5)
Очевидно, что диагональные элементы матрицы должны быть отличны от нуля. Выберем произвольно начальное приближение. Обычно в качестве первого приближения берут или . Подставим начальное приближение в правую часть (4). Вычисляя левые части, получим значения . Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем приближение строится следующим образом:
Последняя система представляет собой расчетные формулы метода простой итерации.
Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации.
Если элементы матрицы удовлетворяют условию:
, (6)
то итерационная последовательность сходится к точному решению .
Условие (7) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы , так как оно означает, что модуль диагонального элемента -ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, .
|
|
Необходимо помнить, что условие сходимости (6) является лишь достаточным. Его выполнение гарантирует сходимость метода простых итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не означает, что метод расходится.
Справедлива следующая оценка погрешности:
, (7)
где .
Правую часть оценки (7) легко вычислить после нахождения очередного приближения.
Иначе достаточное условие (6) для матрицы может быть переформулирована так: если , то итерационный процесс (6) сходится к точному решению системы.
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (7) итерационный процесс следует закончить, как только на -ом шаге выполнится неравенство: .
Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство , где .
Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:
. (8)
В других случаях использование последнего критерия (8) неправомерно и может привести к преждевременному окончанию итерационного процесса.