Метод Эйлера является самым простым из множества методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Пусть для дифференциального уравнения на отрезке требуется решить задачу Коши, т. е. необходимо найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , где - некоторое заданное значение, .
Разобьем отрезок на n элементарных отрезков длиной с помощью точек . На каждом элементарном отрезке заменим интегральную кривую касательной к этой кривой (рис. 85) и найдем приближенные значения решения дифференциального уравнения в этих точках .
Рис. 85
На первом элементарном отрезке дано значение искомой функции в граничной точке . Найдем приближенное значение функции в правой граничной точке рассматриваемого отрезка.
Получаем
.
Данное значение является исходным для нахождения значения искомой функции на отрезке , где , .
Получаем
.
Аналогично вычисляются приближенные значения решения на следующих элементарных отрезках по формулам
|
|
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока значение х достигнет конечной точки отрезка .
Общая схема расчета состоит в том, что сначала проводят расчет при некотором произвольно выбранном значении n, получают значение искомой функции (частного решения) в конечной точке отрезка интегрирования . Затем увеличивают число элементарных отрезков (обычно в два раза, 2 n). Снова проводят расчет, находят . И сравнивают полученные результаты
,
где e - заданная точность расчета.
Если два последовательных приближения отличаются друг от друга менее, чем на заданное значение e, то последнее значение функции (решения) принимается за окончательное. Иначе, число элементарных отрезков увеличивается и расчет продолжается.
Пример 7.28. Дифференциальное уравнение при проинтегрировать на отрезке .
Пусть , . Результаты расчета приведены в таблице.
i | |||||
0,1 | 1,1 | ||||
0,1 | 1,1 | 1,2 | 0,12 | 1,22 | |
0,2 | 1,22 | 1,42 | 0,142 | 1,362 | |
0,3 | 1,362 | 1,662 | 0,1662 | 1,5282 | |
0,4 | 1,5282 | 1,9282 | 0,19282 | 1,72102 | |
0,5 | 1,72102 |
Следовательно .