Показательная функция с комплексным показателем

Величина называется комплексной переменной, если x, y – действительные переменные, а .

Комплексная переменная w называется функцией комплексной переменной z с областью определения D и множеством значений Е, если для любого z, принадлежащего множеству D соответствует единственное значение w, принадлежащее множеству Е.

Записывают или .

Функция или называется показательной функцией комплексной переменной.

По определению показательной функции с комплексным показателем

.

Например,

,

, ,

.

Показательная функция комплексного переменного обладает всеми теми же свойствами, что и показательная функция действительного переменного.

Покажем, например, что при умножении показательных функций их показатели складываются. Найдем

.

.

Следовательно .

Аналогично можно показать следующее:

1) ; 2) , где m Î Z; 3) .

Комплексная величина

,

где - действительные функции действительной переменной х, называется комплексной функцией действительной переменной.

Если существуют производные , то выражение

называется производной комплексной функции действительной переменной.

Найдем производную показательной функции , где a и b – действительные числа. Эту функцию можно записать в виде

,

т. е. она является комплексной функцией действительной переменной.

Найдем производную этой функции

.

Следовательно,

.