double arrow

CТО. Преобразования Лоренса для координат ивремени

Назовем событием некоторое физическое явление, происходящего в некоторой точке пространства, в некоторый момент времени. Событием будет излучение точечным источником сферической волны. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета. Напомним, что каждая точка хар-ется тремя координатами и временем t. В системе К (x, y, z, t), в системе К’ (x’, y’, z’, t’), K’ движется со скоростью . Пусть в некоторый момент времени t’ произошло некоторое событие. Например этой точки достигает фронт сферической волны. Задача-нахожддение координат события в системе К. Произведем синхронизацию часов в системах координат, при t=t’=0. Координаты О и О’ совпадают. Пусть при t=0 из начала координат начало распространение сферическая волна. В системе К уравнение движения записывается так : x2+y2+z2-c2t2=0 (1). Согласно первому постулату Эйнштейна все физические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят одинаково и имеют инвариантную форму. (x’)2+(y’)2+(z’)2-(c’)2(t’)2=0 (2), (x’)2+(y’)2+(z’)2-c2(t’)2=0 (3), c=const. Вычитая эти неравенства, получаем (x’)2+(y’)2+(z’)2-c2t2= x2+y2+z2-c2t2 (4). Должны получить такие формулы преобразования координат при переходе из одной системы в другую, где выполняется (4), полученное нами из постулатов Эйнштейна. Изложим те преобразования к формулам преобразования, которые следуют из общих соображений. Во-первых, формулы преобразования должны быть линейными. Во-вторых, т. к. движение происходит вдоль оси x, то можно предположить y’=y, z’=z (5). При t=0 начало координат К и К’ совпадают, т. е. координата плоскости x’ то x=Vt. Следовательно, мы можем написать x’=α(V)(x-Vt) (6), здесь α=const, зависит от времени. Дальше наступает наиболее неочевидное предположение. Предположим, что t’ является линейной функцией, а именно t’=βt+γx (7). Здесь β и γ=const могут зависеть от V. Подставим (5), (6) и (7) в (4) : α2(x-Vt)2+y2+z2-c2(βt+γx)2= x2+y2+z2-c2t2 (8). Возводим в квадрат левую часть, появляется структура типа Ax2+Bxt+Ct2=0 (9). Это равенство возможно для любого x и t, только при A=B=C=0. α2-c2γ2=1 (11), α2V2-c2β2=-c2 (12), α2V+ c2βγ=0 (13), α2V=-c2βγ, γ=-α2V/c2β (14), подставим (14) в (11), α2-c24V2/c2β2)=1, α2c224V2=c2β2, α2V-c2β2=-c2β22 (15), -c2=-c2β22, α=β, α2(V2-c2)=-c2, α2=c2/(V2-c2)=1/(1-V2/c2). α=β=1/(16). Из (14) получаем : γ=-α2V2/c2β=-V/() (17). Подставляя const в предыдущие формулы мы получаем преобразования Лоренца : x’=(x-Vt)/,y’=y, z’=z и t’=(t-Vx/c2)/} (I).




▼ Формулы преобразования координат времени (I) носят названия формул преобразования Лоренца. Обратные формулы получаются из (I) заменой штрихованной на не штрихованную (V→V’). x=(x’-Vt’)/, y=y’, z=z’ и t=(t’-Vx’/c2)/} (II).








Сейчас читают про: