Условие принадлежности прямой к плоскости

Пересечение прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точки пересечения прямой плоскостью (17). Для этого надо решить систему уравнений (16) и (17). Проще всего это сделать, записав уравнение (16) в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для x,y,z в уравнение плоскости (17) получим:

А(х₀+mt) + B(y₀+nt) + C(z₀+pt) + D = 0

t(Am+Bn+Cp) + (Aх₀+By₀+Cz₀+D)=0 (18)

Если прямая L не параллельна плоскости, то есть Am+Bn+Cp≠0, то из уравнения (18) находим значение t:

Подставляя значение в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

Рассмотрим случай, когда Am+Bn+Cp=0

а) если F = Aх₀+By₀+Cz₀+D ≠ 0, L параллельна Q, то есть пересекать не будет, так как t∙0≠F

б) если Aх₀+By₀+Cz₀+D = 0, то (18) имеет вид: t∙0+0=0

Любая точка прямой – точка пересечения прямой и плоскости, то есть прямая лежит в плоскости. Таким образом одновременно выполняются равенства: Aх₀+By₀+Cz₀+D = 0 и Am+Bn+Cp=0 –это является условием принадлежности прямой к плоскости.