2014-02-02
2128
Существуют следующие способы определения устойчивости:
1) прямой – путем решения дифференциального уравнения и анализа этого уравнения;
2) по корням характеристического уравнения;
3) по критериям устойчивости.
Рассмотрим способ 2.
Пусть динамика САУ описывается уравнением:
Приложим к системе внешнее воздействие, а затем снимем его. Это будет соответствовать нулевой правой части.
- характеристическое уравнение системы.
Корни характеристического уравнения определяют вид переходной составляющей в решении дифференциального уравнения. Проанализируем поведение системы для различных корней:
1) вещественный корень 
- в решении ему будет соответствовать вида 
:
а) 
-экспонента будет неограниченно возрастать, переходный процесс расходится, система неустойчива.
б) 
- имеем сходящийся переходный процесс, система устойчива.
в) 
- имеем нейтрально устойчивую систему, переходного процесса нет.
2) Пара комплексно-сопряженных корней 
В решении имеем составляющую вида: 
|
|
|
а) - имеем расходящийся переходный процесс, система неустойчива.
б) - имеем сходящийся переходный процесс, система устойчива.
в) 
- имеем незатухающие колебания, система находится на грани устойчивости.
г) 
- переходного процесса нет, имеем нейтрально устойчивую систему.
Вывод: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.
Реальные системы нелинейны и мы проводим их линеаризацию. Чтобы распространить сделанные выводы о корнях на линеаризованные системы, А.А. Ляпунов доказал следующие теоремы:
I теорема: Если линеаризованная система устойчива, то никакие из отброшенных при линеаризации корней не могут сделать ее неустойчивой.
II теорема: Если линеаризованная система неустойчива, то никакие из отброшенных при линеаризации корней не могут сделать ее устойчивой.
III теорема: Если линеаризованная система находится на грани устойчивости, то устойчивость реальной системы определяется корнями, отброшенными при линеаризации.
