Временные характеристики систем управления

Свойства преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа

Интеграл Фурье

Преобразование Фурье

Применение преобразования Лапласа

1. В предыдущем разделе использовался оператор дифференцирования с помощью которого дифференциальное уравнение динамики линейной системы преобразовалось в алгебраическое уравнение того же порядка. Использование этого оператора носило чисто символический характер. Преобразование Лапласа раскрывает математический и физический смысл этого оператора и устанавливает важную связь между передаточной и весовой функциями линейной системы. Однако, прежде чем рассматривать преобразование Лапласа, необходимо рассмотреть преобразование Фурье, которое лежит в основе преобразования Лапласа.

Любой сигнал можно представить в виде временной функции ¦(t) и в виде частотной функции F(w). Связь между этими двумя формами представления устанавливает преобразование Фурье. Прямое преобразование Фурье позволяет найти F(w), если известна ¦(t). Обратное п.Ф. позволяет восстановить ¦(t) по известному спектру F(w). Это отображается следующим образом:

В начале рассмотрим п.Ф. периодической функции.

Любую периодическую функцию ¦(t) можно представить в виде синусо-косинусного ряда:

(1)

, где Т – период функции, w - круговая частота.

Функцию ¦(t) можно представить в виде синусного ряда где , , A_n – амплитуда n-ой гармоники, j_n – фаза n-ой гармоники.

Если использовать преобразование Эйлера:

, , то выражение (1) можно представить в экспоненциональной форме:

– обратное преобразование Фурье.

– прямое преобразование Фурье.

2. Для периодического сигнала частотный спектр является линейчатым. Если функция непериодическая, то тогда преобразования нужно будет вычислять при T®¥. Непериодическую функцию можно считать периодической, если T®¥, Dw®0, тогда

, интеграл Фурье.

(2)

Спектр непрерывной функции представляет собой сплошную (непрерывную) функцию. Эти два интеграла существуют, если выполняется условие:

(3)

Широко используемые в теории управления функции (¦(t)=1(t), ¦(t)=kt и др.) не удовлетворяют этому условию.

3. Поскольку для этих функций интегралы Фурье не существуют, поэтому преобразование Фурье применять не имеет смысла. Рассмотрим класс функций ¦(t)=Me^-at, где M>0, a>0, для которых условие (3) выполняется. Эти функции называются экспоненциальными, они достаточно хорошо отображают большинство процессов, совершающихся в природе. Экспоненциальная функция с параметром a<0 отображает затухающий (устойчивый) процесс, причем степень затухания зависит от величины a. Функции, для которых a=0 являются незатухающими, а для a>0 являются неограниченными функциями на полуоси t>0. Обе эти функции соответствуют условно устойчивым (a=0) и неустойчивым (a>0) процессам, которые на практике встечаются крайне редко. Кроме того, рассматриваются экспоненциальные функции, которые равны нулю для t<0. Такие функции удобно использовать для изучения переходных режимов (момент t=0 соответствует моменту времени, при котором начинается возмущения, порождающие переходной процесс).

Расмотрим функцию . В соответствии с выражением (2) найдем её спектр для t³0: Обозначим через p=a+jw. Тогда - интеграл Лапласа.

Функцию ¦(t) называют оригиналом, а F(p) – изображением. Показатель p называется комплексной частотой.

Обратное преобразование Лапласа

На практике используют преобразование Карсона-Лапласа:

(4)

Это преобразование позволяет получить в более простой форме изображения некоторых функций. Проведем примеры вычисления преобразования Карсона-Лапласа.

Пример 1.

Пример 2. ¦(t)=e^-at. Отметим, что в своей практической работе инженерам нет необходимости вычислять изображения по оригиналу, используя формулу (4). В литературе по теории управления имеются таблицы изображений большинства наиболее употребляемых функций.

4. Приведем без доказательства некоторые основные свойства преобразования Лапласа.

1. Пусть тогда

2. Свойства линейности.

Пусть и

Тогда

3. Свойство задержки (смещения).

Пусть

Тогда

4. Свойство дифференцирования.

Пусть

Тогда где

Пример.

5. Свойство свертки.

Пусть и

Тогда

В пользе приведенных свойств нетрудно убедиться, рассмотрев операторный способ преобразования линей

ного дифференциального уравненияДля упрощения примем Тогда в силу свойств 1,2, и 4

Используя таблицы пребразований Лапласа можно по изображению X(p) получить оригинал X(t), при упомянутых начальных условиях.

5. В предыдущем разделе было упомянуто о возможностях весовой функции линейной системы.

где u(t), X(t) – значение входа и выхода линейной системы,

w(t) – весовая функция системы.

X(t) – представляет свертку функций u(t) и w(t).

Воспользуемся ранее приведенным свойством преобразования Лапласа (свойство свёртки).

Если и , то

Отсюда

(5).

Выражение (5) мы назвали передаточной функцией в операторной форме. Теперь можно дать более глубокое толкование выражения (5):

передаточная функция системы W(p) есть отношение изображения выходной величины этой системы к изображению входной величины при условии, что система в начальный момент времени находилась в покое.

Кроме того, можно сделать ещё один очень важный вывод: передаточная функция W(p) есть преобразование Лапласа импульсной (весовой) переходной функции линейной системы.