2021-11-13
47
Тиімді басқару есебі. Вариациялық қисап пен автоматты басқару теориясының дамуының нәтижесінде тиімді басқару теориясы деп аталатын жаңа теория пайда болды. Бұл тарауда кәдімгі дифференциялдық теңдеулер жүйесімен сипатталатын процесстерді тиімді басқару есептерді қарастырылады. Тиімді басқару есебін шешудің негізгі әдісі болып Л. С. Понтрягиннің максимум қағидасы саналады. Бұл қағида аталмыш есептердегі тиімділіктің қажетті шарттарын білдіреді. Максимум қағидасы – қазіргі математиканың ірі жетістіктерінің бірі, ол механикада, физикада, экономикада және техникада қолданылады.
Тиімді басқару есебінің қойылымы. Мәселенің қойылымы. Тиімді басқарудың нақты есептерінің бірнеше мысалдарына тоқталып өтсем:
1-МЫСАЛ.
Материалдық дене өзіне түсірілген күш әсерінен А нүктесінен В нүктесіне дейін түзу сызық бойымен қозғалады. Мәселен m – дене массасы, 
– таңдалған координаттар жүйесіндегі А нүктесінің координаты, 
– В нүктесінің координаты, ал и түсірілген күш дейік. Сонымен қатар, 
– дененің А нүктесіндегі бастапқы жылдамдығы, ал В нүктесінде дене 
жылдамдығына ие болуға тиіс делік. Мұның сыртында түсірілген күштің абсолют шамасы берілген шамадан аспасын, яғни 
. Осы шарттарды ескеріп, денені А-дан В-ға дейін ең қысқа мерзімде жеткізетін күштің (яғни u(t) функциясының) уақыт бойынша өзгеру заңын табу қажет.
Ньютонның екінші заңына сай дене қозғалысының теңдеуі: 
, мұның сыртында 
, 
, ал уақыттың ақырғы сәтінде (Т-белгісіз) 
, 
; 
, 
.
Берілген есепті 
белгілеулерін енгізу арқылы келесі түрде жазуға болады:
Функционалын
Шарттарында минимумдау қажет.
Басқаша айтсақ: (1) функционалын (2) дифференциалдық теңдеулер негізінде (3) шектеулерін ескере отырып минимумға жеткізетін 
функциясын табу керек.
2-мысал.
Сырттан u(t) моменті әсер ететін математикалық маятник қозғалысының теңдеуі 
түрінде жазылатындығы белгілі. Сыртқы моментті өзгерту арқылы маятник қозғалысына әсер етуге болады. Айталық, сыртқы момент тудыратын қондырғының мүмкіндігі шектеулі болсын. Мәселен 
Маятник қозғалысының теңдеуін 
белгілеулерін енгізу арқылы 
түрінде жазамыз. Енді келесі есепті қояйық:
1. Мәселен 
. Маятникті ең қысқа уақыт Т ішінде тыныштыққа келтіретін (яғни 
, 
жағдайына келтіретін) 
шамасын таңдап алу қажет. Бұл есеп келесі түрде жазылуы ықтимал:
,
2. Мәселен 
Берілген 
уақыт сәтінде маятниктің ауытқуы 
жылдамдығы 
болатын және бұл кездегі атқарылатын жалпыланған мейлінше аз жұмыс көлемін қамтамасыз ететін сыртқы 
моментінің өзгеру заңын табу керек. Аталмыш есеп былай өрнектеледі:
Сонымен, сыртқы 
әсерін басқару функциясын 
таңдау арқылы жүйе қозғалысына ықпал жасауға, тіпті қозғалысқа қандай да бір ерекшеліктер беруге болады екен.
