Бесконечно малые величины

2.

Предел функции в точке.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдётся такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε; δ = δ (ε) ), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию

| x - х₀ | < δ,

выполняется неравенство

| f(x) - A | < ε _.

Этот предел функции обозначается или f(x) → A при х → х₀.

Определение. Функция a(x) называется бесконечно малой величиной при х → х₀, или при х → ∞, если ее предел равен нулю:

α (x) = 0.

Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х→ х₀, если для любого,даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε; δ = δ (ε) ), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию

| x - х₀ | < δ,

будет верно неравенство

| а(x) | < ε _.

С помощью логических символов приведем это определение к виду:

а(х) - бесконечно

малая при х→ х₀ (ε > 0) (δ = δ(ε) > 0) ( х ≠ х ₀: | x - х₀ | < δ)

или | а(x) | < ε _.

Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой при х → ∞, если основное неравенство рассматривать для достаточно больших х. Приводим его в краткой форме:

а(х) - бесконечно

малая при х→ ∞(ε > 0) ( S = S (ε) > 0) ( х: | x | > S)

или | а(x) | < ε _.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая.