double arrow

Уравнения Максвелла

 

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
[показать] Электростатика
[показать] Магнитостатика
[показать] Электродинамика
[показать] Электрическая цепь
[показать] Ковариантная формулировка
[показать] Известные учёные
Просмотр • Обсуждение • Править
См. также «Физический портал»

Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь сэлектрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Содержание [убрать] 1. История 2. Запись уравнений Максвелла и системы единиц 3. Дифференциальная форма 4. Интегральная форма 5. Сила Лоренца 6. Размерные константы в уравнениях Максвелла 7. Уравнения Максвелла в среде 7.1 Связанные заряды и токи 7.2 Материальные уравнения 7.3 Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии o 7.4 Граничные условия 8. Законы сохранения 8.1 Уравнение непрерывности o 8.2 Закон сохранения энергии 9. Потенциалы 9.1 Скалярный и векторный потенциалы 9.2 Векторы Герца 9.3 Потенциалы Дебая 9.4 Векторы Римана — Зильберштейна 10. Ковариантная формулировка o 10.1 Четырёхмерные векторы 10.2 Тензор электромагнитного поля o 10.3 Лагранжиан 10.4 Запись при помощи дифференциальных форм 10.5 Общековариантная запись в компонентах 11. Спектральное представление 12. Уравнения без свободных зарядов и токов 12.1 Волновое уравнение 12.2 Уравнение Гельмгольца 13. Некоторые точные решения 13.1 Поле движущегося точечного заряда 13.2 Плоские электромагнитные волны 14. Связь с другими теориями 15. Аксиоматический подход 16. Единственность решений уравнений Максвелла 17. Численное решение уравнений Максвелла 18. Источники 19. Примечания 20. См. также 21. Литература 21.1 Исторические публикации 21.2 История развития 21.3 Общие курсы физики 21.4 Курсы теоретической физики 21.5 Решения уравнений Максвелла 22. Ссылки

История

Джеймс Клерк Максвелл

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом, возникли на основе ряда важных экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале XIX века. В 1820 году Ганс Христиан Эрстед обнаружил, что пропускаемый через проводгальванический ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Это открытие привлекло широкое внимание учёных того времени. В том же 1820 году Био и Савар экспериментально нашли выражение для порождаемой током магнитной индукции (закон Био-Савара), и Андре Мари Ампер обнаружил, чтовзаимодействие на расстоянии возникает также между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввёл термин «электродинамический» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в магните круговых токов.

Влияние тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело Майкла Фарадея к идее о том, что должно существовать обратное влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией. Фарадей ввёл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядамии токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла.

После открытий Фарадея стало ясно, что старые модели электромагнетизма (Ампер, Пуассон и др.) неполны. Вскоре появилась теория Вебера, основанная на дальнодействии. Однако к этому моменту вся физика, кроме теории тяготения, имела дело только с близкодейственными силами (оптика, термодинамика, механика сплошных сред и др.). Гаусс, Риман и ряд других учёных высказывали догадки, что свет имеет электромагнитную природу, так что теория электромагнитных явлений тоже должна быть близкодейственной. Этот принцип стал существенной особенностью теории Максвелла.

В своём знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) Максвелл писал:

"Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков".

Заменяя фарадеевский термин «поле сил» на понятие «напряжённость поля», Максвелл сделал его ключевым объектом своей теории:

Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.

Подобная электродинамическая среда явилась абсолютно новым понятием для ньютоновской физики. Последняя изучала взаимодействие между собой материальных тел. Максвелл же записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие зарядов и токов и существующая даже в их отсутствие.

Электрический ток создаёт магнитную индукцию (закон Ампера)

Анализируя известные эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и магнитного полей. В 1855 году в своей самой первой статье «О фарадеевых силовых линиях» («On Faraday’s Lines of Force») он впервые записал в дифференциальной форме систему уравнений электродинамики, но не вводя ещё ток смещения. Такая система уравнений описывала все известные к тому времени экспериментальные данные, но не позволяла связать между собой заряды и токи и предсказатьэлектромагнитные волны. Впервые ток смещения был введён Максвеллом в работе «О физических силовых линиях» («On Physical Lines of Force»), состоящей из четырёх частей и опубликованной в 1861-1862 годах.

Обобщая закон Ампера, Максвелл вводит ток смещения, вероятно, чтобы связать токи и заряды уравнением непрерывности, которое уже было известно для других физических величин. Следовательно, в этой статье фактически была завершена формулировка полной системы уравнений электродинамики. В статье 1864 года «Динамическая теория электромагнитного поля» («A dynamical theory of the electromagnetic field») рассмотрена сформулированная ранее система уравнений из 20 скалярных уравнений для 20 скалярных неизвестных. В этой статье Максвелл впервые сформулировал понятие электромагнитного поля как физической реальности, имеющей собственную энергию и конечное время распространения, определяющее запаздывающий характер электромагнитного взаимодействия.

Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея)

Оказалось, что не только ток, но и изменяющееся со временем электрическое поле (ток смещения) порождаетмагнитное поле. В свою очередь, в силу закона Фарадея, изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое. В результате, в пустом пространстве может распространяться электромагнитная волна. Из уравнений Максвелла следовало, что её скорость равна скорости света, поэтому Максвелл сделал вывод об электромагнитной природе света.

Часть физиков выступила против теории Максвелла (особенно много возражений вызвала концепция тока смещения). Гельмгольц предложил свою теорию, компромиссную по отношению к моделям Вебера и Максвелла, и поручил своему ученику Генриху Герцу провести её экспериментальную проверку. Однако опыты Герца однозначно подтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не использовал векторных обозначений и записывал свои уравнения в достаточно громоздком компонентном виде. В своём трактате он, кроме того, частично использовалкватернионную формулировку. Современная форма уравнений Максвелла появилась около 1884 года после работ Хевисайда, Герца и Гиббса. Они не только переписали систему Максвелла в векторном виде, но и симметризовали её, переформулировав в терминах поля, избавившись отэлектрического и магнитного потенциалов, игравших в теории Максвелла существенную роль, поскольку полагали, что эти функции являются лишь ненужными вспомогательными математическими абстракциями. Интересно, что современная физика поддерживает Максвелла, но не разделяет негативное отношение его ранних последователей к потенциалам.Электромагнитный потенциал играет важную роль в квантовой физике и проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в эффекте Ааронова-Бома.

Система уравнений в формулировке Герца и Хевисайда некоторое время называлась уравнениями Герца-Хевисайда. Эйнштейн в классической статье «К электродинамике движущихся тел» назвал их уравнениями Максвелла-Герца. Иногда в литературе встречается также название уравнения Максвелла-Хевисайда.

Уравнения Максвелла сыграли важную роль при возникновении специальной теории относительности (СТО). Джозеф Лармор (1900 год) и независимо от него Хенрик Лоренц (1904 год) нашли преобразования координат, времени и электромагнитных полей, которые оставляют уравнения Максвелла инвариантными при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Эти преобразования отличались от преобразований Галилея классической механики и, следуя Анри Пуанкаре, стали называться преобразованиями Лоренца. Они стали математическим фундаментом специальной теории относительности.

Распространение электромагнитных волн со скоростью света первоначально интерпретировалось как возмущения некоторой среды, так называемого эфира. Были предприняты многочисленные попытки (см. исторический обзор) обнаружить движение Земли относительно эфира, однако они неизменно давали отрицательный результат. Поэтому Анри Пуанкаре высказал гипотезу о принципиальной невозможности обнаружить подобное движение (принцип относительности). Ему же принадлежит постулат о независимости скорости света от скорости его источника и вывод (вместе с Лоренцем), исходя из сформулированного так принципа относительности, точного видапреобразований Лоренца (при этом были показаны и групповые свойства этих преобразований).

Эти две гипотезы (постулата) легли и в основу статьи Альберта Эйнштейна (1905 год). С их помощью он также вывел преобразования Лоренца и утвердил их общефизический смысл, особо подчеркнув возможность их применения для перехода из любой инерциальной системы отсчета в любую другую инерциальную. Эта работа фактически ознаменовала собой построение специальной теории относительности. В СТО преобразования Лоренца отражают общие свойства пространства и времени, а модель эфира оказывается ненужной. Электромагнитные поля являются самостоятельными объектами, существующими наравне с материальными частицами.

Классическая электродинамика, основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта, который потребовал бы видоизменения уравнений. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Поэтому уравнения Максвелла являются основой микроскопического описания электромагнитных свойств вещества.

Уравнения Максвелла востребованы также в астрофизике и космологии, поскольку многие планетыи звезды обладают магнитным полем. Магнитное поле определяет, в частности, свойства таких объектов, как пульсары и квазары.

На современном уровне понимания все фундаментальные частицы являются квантовыми возбуждениями («квантами») различных полей. Например, фотон — это квант электромагнитного поля, а электрон — квант спинорного поля. Поэтому полевой подход, предложенный Фарадеем и существенно развитый Максвеллом, является основой современной физики фундаментальных частиц, в том числе ее стандартной модели.

Исторически несколько раньше он сыграл важную роль в появлении квантовой механики в формулировке Шрёдингера и вообще открытии квантовых уравнений, описывающих движение частиц, в том числе и релятивистских (уравнение Клейна-Гордона, уравнение Дирака), хотя первоначально аналогия с уравнениями Максвелла здесь виделась скорее лишь в общей идее, тогда как впоследствии оказалось, что она может быть понята как более конкретная и детальная (как это описано выше).

Также полевой подход, в целом восходящий к Фарадею и Максвеллу, стал центральным в теории гравитации (включая ОТО).

Запись уравнений Максвелла и системы единиц

Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты (константы). Международная система единиц СИ является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с конкурирующей симметричной гауссовой системой единиц (СГС) не утихают. Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней.

Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся современная метрология. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей физики. В связи с этим все соотношения, если они по-разному записываются в системах СИ и СГС, далее приводятся в двух вариантах.

Дифференциальная форма

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырех уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных) линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ():

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля Не существуетмагнитных зарядов.[~ 1]
Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

— плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);

— плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае - случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, ρ1 - плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с ρ); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

— скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);

— напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

— напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

— электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);

— магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);

— дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,

означает дивергенцию вектора.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравненийэлектромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбужденоэлектромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского-Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.
Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.
Теорема о циркуляции магнитного поля Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

— двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера-Максвелла (её границей является замкнутый контур ).

§ — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);

§ — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлениемправого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Сила Лоренца

Основная статья: Сила Лоренца

При решении уравнений Максвелла распределения зарядов и токов часто считаются заданными. С учётом граничных условий и материальных уравнений это позволяет определить напряжённость электрического поля и магнитную индукцию , которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд , двигающийся со скоростью .

Эта сила называется силой Лоренца:

СГС СИ

Электрическая составляющая силы направлена по электрическому полю (если ), а магнитная — перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в 1889 году Хевисайд за три года до Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году.

В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями.

Размерные константы в уравнениях Максвелла

В гауссовой системе единиц СГС все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная фундаментальная константа , имеющая размерностьскорости, которая сейчас называется скоростью света (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе света).

В системе единиц СИ, чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в вакууме, вводится электрическая постоянная ε0 (). Магнитная постоянная является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в вакууме (). Названия электрическая постоянная и магнитная постоянная сейчас стандартизованы. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводеволнового уравнения:

В системе единиц СИ, в качестве точных размерных констант определены скорость света в вакууме и магнитная постоянная . Через них выражается электрическая постоянная ε0.

Принятые значения скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:

Символ Наименование Численное значение Единицы измерения СИ
Постоянная скорости света (точно) м/с
Магнитная постоянная Гн/м
ε0 = 1 / (μ0 c 2) Электрическая постоянная Ф/м

Иногда вводится величина, называемая «волновым сопротивлением», или «импедансом» вакуума:

Ом.

Приближённое значение для получается, если для скорости света принять значение м/c. В системе СГС . Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в вакууме.

Уравнения Максвелла в среде

Чтобы получить полную систему уравнений электродинамики, к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины , , , , , в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагниченности и электропроводности среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической иликвантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами , , с одной стороны и , с другой стороны.

Связанные заряды и токи

Слева: Совокупность микроскопических диполей в среде образуют один макроскопический дипольный момент и эквивалентны двум заряженным с противоположным знаком пластинам на границе. При этом внутри среды все заряды скомпенсированы;

Справа: Совокупность микроскопических циркулярных токов в среде эквивалентна макроскопическому току, циркулирующему вдоль границы. При этом внутри среды все токи скомпенсированы.

При приложении электрического поля кдиэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопическийдиполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называетсяполяризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагнивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеютмагнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В среде сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание вещества, которые макроскопически описываются соответственно вектором поляризации ивектором намагниченности вещества, а вызваны появлением связанных зарядов и токов . В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.

СГС СИ

Поляризация и намагниченность вещества связаны с векторами напряжённости и индукции электрического и магнитного поля следующими соотношениями:

СГС СИ

Поэтому, выражая векторы и через , , и , можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

СГС СИ

Индексом здесь обозначены свободные заряды и токи. Уравнения Максвелла в такой форме являются фундаментальными, в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства вещества. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет «спрятать» в , , а затем в и, следовательно, в сложный микроскопический характер электромагнитного поля в среде.

Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин.

В слабых электромагнитных полях, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и вовремени, в случае изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред справедливо приближение, в котором поляризуемость и намагниченность линейно зависят от приложенных полей:

СГС СИ

где введены безразмерные константы: — диэлектрическая восприимчивость и —магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГС СИ

где — относительная диэлектрическая проницаемость, — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины ε0ε (в единицах СИ — Ф/м) и μ0μ (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость иабсолютная магнитная проницаемость соответственно.

В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, выражаемая законом Ома:

где — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом−1•м−1).

В анизотропной среде ε, и являются тензорами , и . В системе координат главных осей они могут быть описаны диагональными матрицами. В этом случае, связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате.

Например, в системе СИ:

Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между и может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между и наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ε0 = 1).

Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

СГС СИ

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости ε используется показатель преломления (зависящий от длины волны), показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых полупроводников. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: ε = μ = 1.

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей и свободных зарядов и токов , справедлив принцип суперпозиции:

Если распределения зарядов и токов создают электромагнитное поле с компонентами , а другие распределения создают, соответственно, поле , то суммарное поле, создаваемое источниками , будет равно .

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токовсумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Граничные условия

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе:

СГС СИ
, , , ,

где — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, — плотность поверхностных свободных токов вдоль границы (то есть не включая связанных токов намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных итп токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

СГС СИ
, , , ,

где — поверхностная плотность свободных зарядов (то есть не включающая в себя связанных зарядов, возникающих на границе среды вследствие диэлектрической поляризации самой среды).

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

,

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

СГС СИ
, , , , , , , ,

Законы сохранения

Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

Уравнение непрерывности

Источники полей () не могут быть заданы произвольным образом. Применяя операцию дивергенции к четвёртому уравнению (закон Ампера-Максвелла) и используя первое уравнение (закон Гаусса), можно получить уравнение непрерывности для зарядов и токов:

Вывод уравнения непрерывности

Это уравнение при помощи интегральной теоремы Остроградского-Гаусса можно записать в следующем виде:

В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность . В правой части — изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма . Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность , ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.

Закон сохранения энергии

Если умножить третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме (закон Фарадея)скалярно на , а четвёртое (закон Ампера — Максвелла) на и сложить результаты, можно получить теорему Пойнтинга:

где

СГС СИ

Вывод теоремы Пойнтинга

Вектор называется вектором Пойнтинга (вектором плотности потока электромагнитной энергии) и определяет количество электромагнитной энергии, переносимой через единицу площади в единицу времени. Интеграл вектора Пойнтинга по сечению распространяющейся волны определяет её мощность. Важно отметить, что, как впервые указал Хевисайд, физический смысл потока энергии имеет только безвихревая часть вектора Пойнтинга. Вихревая часть, дивергенция которой равна нулю, не связана с переносом энергии. Заметим, что Хевисайд получил выражение для закона сохранения независимо от Пойнтинга. В русскоязычной литературе вектор Пойнтинга часто называется также «вектором Умова-Пойнтинга».

Величины и определяют объёмные плотности энергии, соответственно, электрического и магнитного полей. При отсутствии токов и связанных с ними потерь теорема Пойнтинга являетсяуравнением непрерывности для энергии электромагнитного поля. Проинтегрировав его в этом случае по некоторому замкнутому объёму и воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, можно получить закон сохранения энергии для электромагнитного поля:

Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.

Вектор Пойнтинга связан с импульсом электромагнитного поля:

Где интегрирование производится по всему пространству. Электромагнитная волна, поглощаясь или отражаясь от некоторой поверхности, передаёт ей часть своего импульса, что проявляется в форме светового давления. Экспериментально этот эффект впервые наблюдался П. Н. Лебедевымв 1899 году.

[править]Потенциалы

[править]Скалярный и векторный потенциалы

Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через скалярный и векторный потенциалы:

СГС СИ

Доказательство

При данных электрическом и магнитном полях, скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Если — произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:

СГС СИ

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых калибровкой. Благодаря этому, уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах с диэлектрической (ε) и магнитной () проницаемостями. Для данных и всегда можно подобрать такую функцию f, чтобы выполнялось калибровочное условие Лоренца:

СГС СИ

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

СГС СИ

где — оператор Д’Аламбера, который и в системе СГС, и в системе СИ имеет вид:

Таким образом, 8 уравнений Максвелла для компонент электромагнитного поля (2 векторных и 2 скалярных) при помощи потенциалов могут быть сведены к 4 уравнениям (скалярному для и векторному для ). Решения этих уравнений для произвольно двигающегося точечного заряда называются потенциалами Лиенара-Вихе


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: