Определители и системы линейных уравнений

Управление образования и науки липецкой области

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЛИПЕЦКИЙ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Математика

Методические указания и контрольные задания

Для студентов заочного отделения

Липецк 2015

Общие методические указания.

Прежде, чем приступить к выполнению контрольной работы, необходимо повторить курс математики средней школы, познакомиться с принятой математической символикой.

Усвоение материала учебной программы возможно в том случае, если ранее изученный материал достаточно удовлетворительно усвоен учащимися.

Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре в журнале.

Номера задач указаны в таблице, где в первом столбце по вертикали стоит последняя цифра вашего варианта.

При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие правила:

1.Работа выполняется в отдельной тетради, на обложки которой указывается учебная дисциплина, номер варианта, Ф.И.О.

2.Условия задачи необходимо записывать полностью. К геометрическим задачам делается чертёж.

3.Решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточными объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант.

4.Проверенные работы сохраняются и предоставляются на зачёте.

5.Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать объяснения по все замечаниям, чтобы быть готовым к защите работы.

6. Если работа не зачтена, то её необходимо переделать и сдать на повторную рецензию.

7.Основной материал, изучается по учебникам.

 

 

Методические приложения к контрольной работе.

Векторы.

Отрезок, одна из конечных точек которого является началом, а другая - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Вектор обозначается:, АВ, где А –

начало вектора, В – конец вектора.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны, т.е.

если и

Расстояние называется длиной вектора или модулем вектора. Если вектор задан своими координатами , то . Длина вектора = , если и .

Действия над векторами, заданными своими координатами.

Пусть даны и , тогда:

Cкалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

или

Произведение применяется в физике и механике.

Проекция вектора на вектор находится по формуле:

, - угол между векторами .

Угол между векторами находится по формуле:

Деление отрезка в данном отношении. Координаты точки деления С отрезка АВ в отношении вычисляются по формулам:

;

 

Примеры:

1.Найти проекцию вектора на вектор ,если угол между ними равен .

Решение.

2.Найти длину вектора , если , .

Решение. По формуле = , находим

=

3.Найти модуль вектора , если .

Решение. 3

Метод координат.

Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(1;-1), В(-2;1), С(3;5)

1)Вычислить:

2)Составить уравнения сторон

3)Вычислить длину медианы ВЕ и величину угла А.

4)Сделать чертеж. У

 

С

 

В Е

 

0 1 2 3 Х

 

Решение. 1.Найдём координаты векторов по формуле:

2.Длину вектора вычислим по формуле:

Получим:

3.Найдем скалярное произведение , по формуле

, здесь (-2; -6) координаты вектора .

4.Уравнения сторон ВС и СА составим, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:

Уравнение прямой ВС: ; ;

4(х+2)=5(у-1) 4х+8=5у-5 4х-5у+13=0

Уравнение прямой АС: ;

6(х-1)=2(у+1) 6х-6=2у+2 6х-2у-8=0

5.Найдём длину медианы ВЕ.

Так как медиана делит противоположную сторону АС пополам, то координаты точки Е, найдем, как координаты середины отрезка

и

т.е. Е (2;2)

Длину медианы найдем по формуле:

6.Найдем величину косинуса угла А,

Определители и системы линейных уравнений.

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными

Применяя к системе метод уравнивания коэффициентов, получим:

.

Предположим, что . Тогда

.

Общий знаменатель значений и называется определителем системы уравнений, в данном случае число называется определителем второго порядка и обозначается или

Пример:

Введение определителей второго порядка не вносит существенных упрощений в решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными, и без этого не представляющее никаких затруднений. Аналогичные методы для случая системы трех линейных уравнений с тремя переменными оказываются ужу практически полезными. Пусть дана система линейных уравнений с тремя переменными:

 

тогда определителем третьего порядка будет выражение: (для его записи употребляется такая же символика, как и в случае определителей второго порядка), таким образом

Пример:

30 + 2 - 24- 12 + 20 – 6 = 10

 

Решение систем линейных уравнений методом Крамера:

система имеет единственное решение при условии, что определитель системы не равен нулю.

Решение системы находится по формулам:

; ; . Где

.

Пример: 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Вычислим главный определитель:

следовательно система не имеет решений.

Пример: 2.

Решение:

;

;

 

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса:

Постепенным исключением переменных находим

Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, вычтем из второго уравнения первое, а к третьему уравнению прибавим первое умноженное на (-3). Получим:

Оставим второе уравнение неизменным, исключив у из третьего, умножив второе уравнение на (-1) и сложив с третьем уравнением получим.

Из третьего уравнения найдем z

Ответ: 5; 3; 1.

Функция и пределы

Функция –зависимость, между двумя множествами Х и У, при котором одному элементу из множества Х поставлено в соответствие не более одного элемента из множества У.

Переменная у называется функцией переменной х.

Символически функциональная зависимость записывается с помощью равенства:. Множество всех действительных значений х, при которых функция существует называется областью определения функции.

Обозначается:

Пример: найти область определения функции:

Решение. Функция определена при всех значениях переменной х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корни. Следовательно, функция определена на всей числовой прямой, кроме точек .

Множество всех действительных значений у, которые может принимать функция называется множеством значений функции.

Обозначается:

Зависимость между аргументом x и функцией можно представить в виде некоторой линии.

Определение: графиком функции

называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству.

Функция называется чётной, если перемена знака у аргумента не меняет значение функции, т. е.

График четной функции – кривая симметричная относительно оси ординат.

Функция называется нечётной, если перемена знака у аргумента изменяет только знак самой функции, т. е.

График нечетной функции – кривая симметричная относительно начала координат.

 

 

 

Понятие предела переменной величины - одно из важнейших понятий математики.

§ Число называется пределом функции

при , если для любой последовательности аргументов

сходящихся к , соответствующая последовательность значений функции

сходится к .

Предел функции обозначается символом:

Функция называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю

Функция называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.

Теоремы о пределах:

 

 

Следствия:

,

Примеры:

1.Вычислить предел:

 

По правилам нахождения предела многочлена находим

 

2.Вычислить предел:, по правилам нахождения предела многочлена находим

3.Вычислить предел:

В данном случае теорема о пределе частного частично не применима, т.к. при , знаменатель равен нулю. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: и

Здесь корни уравнения

4.Вычислить предел:

Решение: умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю, т.е. на , получим

 

5. Вычислить предел:

Решение: используя первый замечательный предел

имеем

6. Вычислить предел:

Решение: разделим числитель и знаменатель дроби на ,

 

Здесь функции при бесконечно малы и их предел равен нулю.

 

Производная.

Определение: Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к

приращению аргумента, когда

последнее стремится к нулю.

Обозначается , y’.

Основные правила дифференцирования. (нахождения производной):

- производная алгебраической суммы функций,

- производная произведения двух функций,

- производная частного.

Обозначения: С – постоянная; – аргумент.

Производные степени и корня:, С'=0,

,

 

 

Физические приложения производной:

При прямолинейном движении точки скорость в данный момент t есть производная от пути s по времени t, вычисленная при t=

Ускорение движения точки находится по формуле:

.

 

Производные логарифмических и показательных функций:

 

 

 

Производные тригонометрических функций:

 

 

 

Производные обратных тригонометрических функций:

 

Примеры: применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих функций:

1.

 

2.

3.

;

4.

5.

 

6.

 

7.

 

8.

Приведем функцию к виду:

 

тогда

=